Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49283 / 51586
↖ ↑ ↗
← S 71.304315°
E 90.719604°		 ← 195.80 m → S 71.304315°
E 90.725098°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
S 71.306075°
E 90.719604°		 ← 195.79 m →
38 333 m²		 S 71.306075°
E 90.725098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.752006530761719 y=0.787147521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.752006530761719 × 216)
    floor (0.752006530761719 × 65536)
    floor (49283.5)     		tx = 49283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787147521972656 × 216)
    floor (0.787147521972656 × 65536)
    floor (51586.5)     		ty = 51586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49283 / 51586 ti = "16/49283/51586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49283/51586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49283 ÷ 216
    49283 ÷ 65536     		x = 0.751998901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51586 ÷ 216
    51586 ÷ 65536     		y = 0.787139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751998901367188 × 2 - 1) × π
    0.503997802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58335579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.57427978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80415315410043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58335579} λ = 1.58335579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80415315410043))-π/2
    2×atan(0.164613800089204)-π/2
    2×0.163150631231469-π/2
    0.326301262462938-1.57079632675     		φ = -1.24449506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58335579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.719604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24449506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.304315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49283 KachelY 51586 1.58335579 -1.24449506 90.719604 -71.304315
    Oben rechts KachelX + 1 49284 KachelY 51586 1.58345167 -1.24449506 90.725098 -71.304315
    Unten links KachelX 49283 KachelY + 1 51587 1.58335579 -1.24452579 90.719604 -71.306075
    Unten rechts KachelX + 1 49284 KachelY + 1 51587 1.58345167 -1.24452579 90.725098 -71.306075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24449506--1.24452579) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24449506--1.24452579) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58335579-1.58345167) × cos(-1.24449506) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.32054166159044 × 6371000     		do = 195.803348384505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58335579-1.58345167) × cos(-1.24452579) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.320512552925422 × 6371000     		du = 195.785567313397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24449506)-sin(-1.24452579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32054166159044-0.320512552925422)×R²
    abs(1.58345167-1.58335579)×2.91086650183736e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.91086650183736e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.91086650183736e-05×40589641000000     		ar = 38332.8014703865m²