Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49282 / 80340
↖ ↑ ↗
← S 37.622934°
W 44.642945°		 ← 241.91 m → S 37.622934°
W 44.640198°		 →
↑
241.84 m
↓
↑
241.84 m
↓
S 37.625109°
W 44.642945°		 ← 241.90 m →
58 504 m²		 S 37.625109°
W 44.640198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375995635986328 y=0.612949371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375995635986328 × 217)
    floor (0.375995635986328 × 131072)
    floor (49282.5)     		tx = 49282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612949371337891 × 217)
    floor (0.612949371337891 × 131072)
    floor (80340.5)     		ty = 80340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49282 / 80340 ti = "17/49282/80340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49282/80340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49282 ÷ 217
    49282 ÷ 131072     		x = 0.375991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80340 ÷ 217
    80340 ÷ 131072     		y = 0.612945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375991821289062 × 2 - 1) × π
    -0.248016357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77916637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.22589111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.709657861975311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77916637} λ = -0.77916637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.709657861975311))-π/2
    2×atan(0.491812436414365)-π/2
    2×0.457076130660378-π/2
    0.914152261320755-1.57079632675     		φ = -0.65664407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77916637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.642945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65664407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.622934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49282 KachelY 80340 -0.77916637 -0.65664407 -44.642945 -37.622934
    Oben rechts KachelX + 1 49283 KachelY 80340 -0.77911843 -0.65664407 -44.640198 -37.622934
    Unten links KachelX 49282 KachelY + 1 80341 -0.77916637 -0.65668203 -44.642945 -37.625109
    Unten rechts KachelX + 1 49283 KachelY + 1 80341 -0.77911843 -0.65668203 -44.640198 -37.625109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65664407--0.65668203) × R
    3.79600000000035e-05 × 6371000     		dl = 241.843160000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65664407--0.65668203) × R
    3.79600000000035e-05 × 6371000     		dr = 241.843160000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77916637--0.77911843) × cos(-0.65664407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.792045356325032 × 6371000     		do = 241.911039068978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77916637--0.77911843) × cos(-0.65668203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.792022182607534 × 6371000     		du = 241.903961219163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65664407)-sin(-0.65668203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792045356325032-0.792022182607534)×R²
    abs(-0.77911843--0.77916637)×2.31737174978264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31737174978264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31737174978264e-05×40589641000000     		ar = 58503.674269585m²