Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49282 / 51588
↖ ↑ ↗
← S 71.307836°
E 90.714111°		 ← 195.75 m → S 71.307836°
E 90.719604°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
S 71.309597°
E 90.714111°		 ← 195.73 m →
38 322 m²		 S 71.309597°
E 90.719604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751991271972656 y=0.787178039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751991271972656 × 216)
    floor (0.751991271972656 × 65536)
    floor (49282.5)     		tx = 49282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787178039550781 × 216)
    floor (0.787178039550781 × 65536)
    floor (51588.5)     		ty = 51588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49282 / 51588 ti = "16/49282/51588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49282/51588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49282 ÷ 216
    49282 ÷ 65536     		x = 0.751983642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51588 ÷ 216
    51588 ÷ 65536     		y = 0.78717041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751983642578125 × 2 - 1) × π
    0.50396728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58325992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.5743408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80434490169891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58325992} λ = 1.58325992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80434490169891))-π/2
    2×atan(0.164582238814356)-π/2
    2×0.163119902475686-π/2
    0.326239804951371-1.57079632675     		φ = -1.24455652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58325992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24455652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.307836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49282 KachelY 51588 1.58325992 -1.24455652 90.714111 -71.307836
    Oben rechts KachelX + 1 49283 KachelY 51588 1.58335579 -1.24455652 90.719604 -71.307836
    Unten links KachelX 49282 KachelY + 1 51589 1.58325992 -1.24458725 90.714111 -71.309597
    Unten rechts KachelX + 1 49283 KachelY + 1 51589 1.58335579 -1.24458725 90.719604 -71.309597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24455652--1.24458725) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24455652--1.24458725) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58325992-1.58335579) × cos(-1.24455652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320483443957733 × 6371000     		do = 195.747368056859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58325992-1.58335579) × cos(-1.24458725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320454334687401 × 6371000     		du = 195.729588470547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24455652)-sin(-1.24458725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320483443957733-0.320454334687401)×R²
    abs(1.58335579-1.58325992)×2.91092703319507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91092703319507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91092703319507e-05×40589641000000     		ar = 38321.8417403421m²