Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49281 / 82059
↖ ↑ ↗
← S 41.267485°
W 44.645691°		 ← 229.52 m → S 41.267485°
W 44.642945°		 →
↑
229.55 m
↓
↑
229.55 m
↓
S 41.269550°
W 44.645691°		 ← 229.51 m →
52 685 m²		 S 41.269550°
W 44.642945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375988006591797 y=0.626064300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375988006591797 × 217)
    floor (0.375988006591797 × 131072)
    floor (49281.5)     		tx = 49281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626064300537109 × 217)
    floor (0.626064300537109 × 131072)
    floor (82059.5)     		ty = 82059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49281 / 82059 ti = "17/49281/82059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49281/82059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49281 ÷ 217
    49281 ÷ 131072     		x = 0.375984191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82059 ÷ 217
    82059 ÷ 131072     		y = 0.626060485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375984191894531 × 2 - 1) × π
    -0.248031616210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.77921430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626060485839844 × 2 - 1) × π
    -0.252120971679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.792061392422188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77921430} λ = -0.77921430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792061392422188))-π/2
    2×atan(0.452910206668403)-π/2
    2×0.42527141891251-π/2
    0.850542837825019-1.57079632675     		φ = -0.72025349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77921430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.645691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72025349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.267485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49281 KachelY 82059 -0.77921430 -0.72025349 -44.645691 -41.267485
    Oben rechts KachelX + 1 49282 KachelY 82059 -0.77916637 -0.72025349 -44.642945 -41.267485
    Unten links KachelX 49281 KachelY + 1 82060 -0.77921430 -0.72028952 -44.645691 -41.269550
    Unten rechts KachelX + 1 49282 KachelY + 1 82060 -0.77916637 -0.72028952 -44.642945 -41.269550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72025349--0.72028952) × R
    3.60299999999647e-05 × 6371000     		dl = 229.547129999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72025349--0.72028952) × R
    3.60299999999647e-05 × 6371000     		dr = 229.547129999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77921430--0.77916637) × cos(-0.72025349) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.751638557567729 × 6371000     		do = 229.521875765294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77921430--0.77916637) × cos(-0.72028952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.751614792584467 × 6371000     		du = 229.514618841762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72025349)-sin(-0.72028952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751638557567729-0.751614792584467)×R²
    abs(-0.77916637--0.77921430)×2.37649832621756e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37649832621756e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37649832621756e-05×40589641000000     		ar = 52685.2549569809m²