Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49278 / 80334
↖ ↑ ↗
← S 37.609880°
W 44.653930°		 ← 241.90 m → S 37.609880°
W 44.651184°		 →
↑
241.91 m
↓
↑
241.91 m
↓
S 37.612056°
W 44.653930°		 ← 241.90 m →
58 517 m²		 S 37.612056°
W 44.651184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375965118408203 y=0.612903594970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375965118408203 × 217)
    floor (0.375965118408203 × 131072)
    floor (49278.5)     		tx = 49278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612903594970703 × 217)
    floor (0.612903594970703 × 131072)
    floor (80334.5)     		ty = 80334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49278 / 80334 ti = "17/49278/80334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49278/80334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49278 ÷ 217
    49278 ÷ 131072     		x = 0.375961303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80334 ÷ 217
    80334 ÷ 131072     		y = 0.612899780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375961303710938 × 2 - 1) × π
    -0.248077392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.77935811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612899780273438 × 2 - 1) × π
    -0.225799560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.709370240577591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77935811} λ = -0.77935811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.709370240577591))-π/2
    2×atan(0.491953912539547)-π/2
    2×0.457190045256396-π/2
    0.914380090512791-1.57079632675     		φ = -0.65641624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77935811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.653930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65641624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.609880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49278 KachelY 80334 -0.77935811 -0.65641624 -44.653930 -37.609880
    Oben rechts KachelX + 1 49279 KachelY 80334 -0.77931018 -0.65641624 -44.651184 -37.609880
    Unten links KachelX 49278 KachelY + 1 80335 -0.77935811 -0.65645421 -44.653930 -37.612056
    Unten rechts KachelX + 1 49279 KachelY + 1 80335 -0.77931018 -0.65645421 -44.651184 -37.612056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65641624--0.65645421) × R
    3.79700000000538e-05 × 6371000     		dl = 241.906870000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65641624--0.65645421) × R
    3.79700000000538e-05 × 6371000     		dr = 241.906870000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77935811--0.77931018) × cos(-0.65641624) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.792184417381131 × 6371000     		do = 241.903041826017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77935811--0.77931018) × cos(-0.65645421) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.792161244410962 × 6371000     		du = 241.895965680806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65641624)-sin(-0.65645421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792184417381131-0.792161244410962)×R²
    abs(-0.77931018--0.77935811)×2.31729701688499e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31729701688499e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31729701688499e-05×40589641000000     		ar = 58517.1518147099m²