Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49277 / 82311
↖ ↑ ↗
← S 41.785649°
W 44.656677°		 ← 227.74 m → S 41.785649°
W 44.653930°		 →
↑
227.70 m
↓
↑
227.70 m
↓
S 41.787697°
W 44.656677°		 ← 227.73 m →
51 855 m²		 S 41.787697°
W 44.653930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375957489013672 y=0.627986907958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375957489013672 × 217)
    floor (0.375957489013672 × 131072)
    floor (49277.5)     		tx = 49277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627986907958984 × 217)
    floor (0.627986907958984 × 131072)
    floor (82311.5)     		ty = 82311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49277 / 82311 ti = "17/49277/82311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49277/82311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49277 ÷ 217
    49277 ÷ 131072     		x = 0.375953674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82311 ÷ 217
    82311 ÷ 131072     		y = 0.627983093261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375953674316406 × 2 - 1) × π
    -0.248092651367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77940605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627983093261719 × 2 - 1) × π
    -0.255966186523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.804141491126442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77940605} λ = -0.77940605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804141491126442))-π/2
    2×atan(0.447471920319009)-π/2
    2×0.420749585240644-π/2
    0.841499170481288-1.57079632675     		φ = -0.72929716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77940605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.656677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72929716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.785649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49277 KachelY 82311 -0.77940605 -0.72929716 -44.656677 -41.785649
    Oben rechts KachelX + 1 49278 KachelY 82311 -0.77935811 -0.72929716 -44.653930 -41.785649
    Unten links KachelX 49277 KachelY + 1 82312 -0.77940605 -0.72933290 -44.656677 -41.787697
    Unten rechts KachelX + 1 49278 KachelY + 1 82312 -0.77935811 -0.72933290 -44.653930 -41.787697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72929716--0.72933290) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dl = 227.699539999687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72929716--0.72933290) × R
    3.57399999999508e-05 × 6371000     		dr = 227.699539999687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77940605--0.77935811) × cos(-0.72929716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745642920908415 × 6371000     		do = 227.738540894065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77940605--0.77935811) × cos(-0.72933290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.745619105235737 × 6371000     		du = 227.731266974614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72929716)-sin(-0.72933290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745642920908415-0.745619105235737)×R²
    abs(-0.77935811--0.77940605)×2.38156726776184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38156726776184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38156726776184e-05×40589641000000     		ar = 51855.1328732376m²