Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49277 / 80072
↖ ↑ ↗
← S 37.037640°
W 44.656677°		 ← 243.80 m → S 37.037640°
W 44.653930°		 →
↑
243.75 m
↓
↑
243.75 m
↓
S 37.039832°
W 44.656677°		 ← 243.80 m →
59 427 m²		 S 37.039832°
W 44.653930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375957489013672 y=0.610904693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375957489013672 × 217)
    floor (0.375957489013672 × 131072)
    floor (49277.5)     		tx = 49277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610904693603516 × 217)
    floor (0.610904693603516 × 131072)
    floor (80072.5)     		ty = 80072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49277 / 80072 ti = "17/49277/80072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49277/80072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49277 ÷ 217
    49277 ÷ 131072     		x = 0.375953674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80072 ÷ 217
    80072 ÷ 131072     		y = 0.61090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375953674316406 × 2 - 1) × π
    -0.248092651367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.77940605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61090087890625 × 2 - 1) × π
    -0.2218017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.696810772877136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77940605} λ = -0.77940605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.696810772877136))-π/2
    2×atan(0.498171555224621)-π/2
    2×0.462183783615743-π/2
    0.924367567231485-1.57079632675     		φ = -0.64642876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77940605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.656677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64642876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.037640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49277 KachelY 80072 -0.77940605 -0.64642876 -44.656677 -37.037640
    Oben rechts KachelX + 1 49278 KachelY 80072 -0.77935811 -0.64642876 -44.653930 -37.037640
    Unten links KachelX 49277 KachelY + 1 80073 -0.77940605 -0.64646702 -44.656677 -37.039832
    Unten rechts KachelX + 1 49278 KachelY + 1 80073 -0.77935811 -0.64646702 -44.653930 -37.039832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64642876--0.64646702) × R
    3.82599999999567e-05 × 6371000     		dl = 243.754459999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64642876--0.64646702) × R
    3.82599999999567e-05 × 6371000     		dr = 243.754459999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77940605--0.77935811) × cos(-0.64642876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.798239983331114 × 6371000     		do = 243.803037606333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77940605--0.77935811) × cos(-0.64646702) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.798216937235837 × 6371000     		du = 243.795998735629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64642876)-sin(-0.64646702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.798239983331114-0.798216937235837)×R²
    abs(-0.77935811--0.77940605)×2.30460952778122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30460952778122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30460952778122e-05×40589641000000     		ar = 59427.2199073624m²