Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49276 / 80372
↖ ↑ ↗
← S 37.692514°
W 44.659424°		 ← 241.68 m → S 37.692514°
W 44.656677°		 →
↑
241.65 m
↓
↑
241.65 m
↓
S 37.694688°
W 44.659424°		 ← 241.68 m →
58 403 m²		 S 37.694688°
W 44.656677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375949859619141 y=0.613193511962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375949859619141 × 217)
    floor (0.375949859619141 × 131072)
    floor (49276.5)     		tx = 49276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613193511962891 × 217)
    floor (0.613193511962891 × 131072)
    floor (80372.5)     		ty = 80372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49276 / 80372 ti = "17/49276/80372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49276/80372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49276 ÷ 217
    49276 ÷ 131072     		x = 0.375946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80372 ÷ 217
    80372 ÷ 131072     		y = 0.613189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.24810791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77945399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613189697265625 × 2 - 1) × π
    -0.22637939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.711191842763153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77945399} λ = -0.77945399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.711191842763153))-π/2
    2×atan(0.49105858393112)-π/2
    2×0.456468923977645-π/2
    0.91293784795529-1.57079632675     		φ = -0.65785848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77945399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.659424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65785848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.692514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49276 KachelY 80372 -0.77945399 -0.65785848 -44.659424 -37.692514
    Oben rechts KachelX + 1 49277 KachelY 80372 -0.77940605 -0.65785848 -44.656677 -37.692514
    Unten links KachelX 49276 KachelY + 1 80373 -0.77945399 -0.65789641 -44.659424 -37.694688
    Unten rechts KachelX + 1 49277 KachelY + 1 80373 -0.77940605 -0.65789641 -44.656677 -37.694688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65785848--0.65789641) × R
    3.79299999999638e-05 × 6371000     		dl = 241.65202999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65785848--0.65789641) × R
    3.79299999999638e-05 × 6371000     		dr = 241.65202999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77945399--0.77940605) × cos(-0.65785848) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.79130342100049 × 6371000     		do = 241.684432924007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77945399--0.77940605) × cos(-0.65789641) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.791280229131732 × 6371000     		du = 241.67734953033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65785848)-sin(-0.65789641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79130342100049-0.791280229131732)×R²
    abs(-0.77940605--0.77945399)×2.31918687574328e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31918687574328e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31918687574328e-05×40589641000000     		ar = 58402.6779841466m²