Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49276 / 53900
↖ ↑ ↗
← N 30.420256°
W 44.659424°		 ← 263.38 m → N 30.420256°
W 44.656677°		 →
↑
263.38 m
↓
↑
263.38 m
↓
N 30.417888°
W 44.659424°		 ← 263.39 m →
69 369 m²		 N 30.417888°
W 44.656677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375949859619141 y=0.411228179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375949859619141 × 217)
    floor (0.375949859619141 × 131072)
    floor (49276.5)     		tx = 49276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411228179931641 × 217)
    floor (0.411228179931641 × 131072)
    floor (53900.5)     		ty = 53900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49276 / 53900 ti = "17/49276/53900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49276/53900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49276 ÷ 217
    49276 ÷ 131072     		x = 0.375946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53900 ÷ 217
    53900 ÷ 131072     		y = 0.411224365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375946044921875 × 2 - 1) × π
    -0.24810791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77945399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411224365234375 × 2 - 1) × π
    0.17755126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.557793763978973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77945399} λ = -0.77945399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557793763978973))-π/2
    2×atan(1.7468143611127)-π/2
    2×1.05086497788691-π/2
    2.10172995577383-1.57079632675     		φ = 0.53093363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77945399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.659424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53093363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.420256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49276 KachelY 53900 -0.77945399 0.53093363 -44.659424 30.420256
    Oben rechts KachelX + 1 49277 KachelY 53900 -0.77940605 0.53093363 -44.656677 30.420256
    Unten links KachelX 49276 KachelY + 1 53901 -0.77945399 0.53089229 -44.659424 30.417888
    Unten rechts KachelX + 1 49277 KachelY + 1 53901 -0.77940605 0.53089229 -44.656677 30.417888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53093363-0.53089229) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dl = 263.377140000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53093363-0.53089229) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dr = 263.377140000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77945399--0.77940605) × cos(0.53093363) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.862334713450655 × 6371000     		do = 263.379217983791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77945399--0.77940605) × cos(0.53089229) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.862355644754128 × 6371000     		du = 263.385610942644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53093363)-sin(0.53089229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862334713450655-0.862355644754128)×R²
    abs(-0.77940605--0.77945399)×2.09313034728043e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.09313034728043e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.09313034728043e-05×40589641000000     		ar = 69368.9070574019m²