Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49275 / 80369
↖ ↑ ↗
← S 37.685994°
W 44.662170°		 ← 241.66 m → S 37.685994°
W 44.659424°		 →
↑
241.65 m
↓
↑
241.65 m
↓
S 37.688167°
W 44.662170°		 ← 241.65 m →
58 396 m²		 S 37.688167°
W 44.659424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375942230224609 y=0.613170623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375942230224609 × 217)
    floor (0.375942230224609 × 131072)
    floor (49275.5)     		tx = 49275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613170623779297 × 217)
    floor (0.613170623779297 × 131072)
    floor (80369.5)     		ty = 80369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49275 / 80369 ti = "17/49275/80369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49275/80369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49275 ÷ 217
    49275 ÷ 131072     		x = 0.375938415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80369 ÷ 217
    80369 ÷ 131072     		y = 0.613166809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375938415527344 × 2 - 1) × π
    -0.248123168945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.77950192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613166809082031 × 2 - 1) × π
    -0.226333618164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.711048032064293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77950192} λ = -0.77950192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.711048032064293))-π/2
    2×atan(0.491129208487418)-π/2
    2×0.45652582542818-π/2
    0.913051650856361-1.57079632675     		φ = -0.65774468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77950192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.662170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65774468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.685994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49275 KachelY 80369 -0.77950192 -0.65774468 -44.662170 -37.685994
    Oben rechts KachelX + 1 49276 KachelY 80369 -0.77945399 -0.65774468 -44.659424 -37.685994
    Unten links KachelX 49275 KachelY + 1 80370 -0.77950192 -0.65778261 -44.662170 -37.688167
    Unten rechts KachelX + 1 49276 KachelY + 1 80370 -0.77945399 -0.65778261 -44.659424 -37.688167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65774468--0.65778261) × R
    3.79300000000748e-05 × 6371000     		dl = 241.652030000477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65774468--0.65778261) × R
    3.79300000000748e-05 × 6371000     		dr = 241.652030000477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77950192--0.77945399) × cos(-0.65774468) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.791372995889348 × 6371000     		do = 241.655264511541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77950192--0.77945399) × cos(-0.65778261) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.791349807436299 × 6371000     		du = 241.648183638446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65774468)-sin(-0.65778261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791372995889348-0.791349807436299)×R²
    abs(-0.77945399--0.77950192)×2.31884530484949e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.31884530484949e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.31884530484949e-05×40589641000000     		ar = 58395.629682841m²