Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49274 / 81082
↖ ↑ ↗
← S 39.219487°
W 44.664917°		 ← 236.62 m → S 39.219487°
W 44.662170°		 →
↑
236.62 m
↓
↑
236.62 m
↓
S 39.221615°
W 44.664917°		 ← 236.62 m →
55 988 m²		 S 39.221615°
W 44.662170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375934600830078 y=0.618610382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375934600830078 × 217)
    floor (0.375934600830078 × 131072)
    floor (49274.5)     		tx = 49274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618610382080078 × 217)
    floor (0.618610382080078 × 131072)
    floor (81082.5)     		ty = 81082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49274 / 81082 ti = "17/49274/81082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49274/81082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49274 ÷ 217
    49274 ÷ 131072     		x = 0.375930786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81082 ÷ 217
    81082 ÷ 131072     		y = 0.618606567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375930786132812 × 2 - 1) × π
    -0.248138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77954986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618606567382812 × 2 - 1) × π
    -0.237213134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.745227041493393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77954986} λ = -0.77954986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745227041493393))-π/2
    2×atan(0.474626527790327)-π/2
    2×0.443143572513149-π/2
    0.886287145026297-1.57079632675     		φ = -0.68450918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77954986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.664917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68450918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.219487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49274 KachelY 81082 -0.77954986 -0.68450918 -44.664917 -39.219487
    Oben rechts KachelX + 1 49275 KachelY 81082 -0.77950192 -0.68450918 -44.662170 -39.219487
    Unten links KachelX 49274 KachelY + 1 81083 -0.77954986 -0.68454632 -44.664917 -39.221615
    Unten rechts KachelX + 1 49275 KachelY + 1 81083 -0.77950192 -0.68454632 -44.662170 -39.221615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68450918--0.68454632) × R
    3.71399999999911e-05 × 6371000     		dl = 236.618939999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68450918--0.68454632) × R
    3.71399999999911e-05 × 6371000     		dr = 236.618939999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77954986--0.77950192) × cos(-0.68450918) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.774729482366557 × 6371000     		do = 236.622325452015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77954986--0.77950192) × cos(-0.68454632) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.774705998476348 × 6371000     		du = 236.61515286747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68450918)-sin(-0.68454632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774729482366557-0.774705998476348)×R²
    abs(-0.77950192--0.77954986)×2.34838902083423e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.34838902083423e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.34838902083423e-05×40589641000000     		ar = 55988.4752504975m²