Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49274 / 80370
↖ ↑ ↗
← S 37.688167°
W 44.664917°		 ← 241.70 m → S 37.688167°
W 44.662170°		 →
↑
241.72 m
↓
↑
241.72 m
↓
S 37.690341°
W 44.664917°		 ← 241.69 m →
58 421 m²		 S 37.690341°
W 44.662170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375934600830078 y=0.613178253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375934600830078 × 217)
    floor (0.375934600830078 × 131072)
    floor (49274.5)     		tx = 49274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.613178253173828 × 217)
    floor (0.613178253173828 × 131072)
    floor (80370.5)     		ty = 80370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49274 / 80370 ti = "17/49274/80370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49274/80370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49274 ÷ 217
    49274 ÷ 131072     		x = 0.375930786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80370 ÷ 217
    80370 ÷ 131072     		y = 0.613174438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375930786132812 × 2 - 1) × π
    -0.248138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.77954986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.613174438476562 × 2 - 1) × π
    -0.226348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.711095968963913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77954986} λ = -0.77954986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.711095968963913))-π/2
    2×atan(0.491105665840136)-π/2
    2×0.456506857722122-π/2
    0.913013715444244-1.57079632675     		φ = -0.65778261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77954986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.664917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65778261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.688167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49274 KachelY 80370 -0.77954986 -0.65778261 -44.664917 -37.688167
    Oben rechts KachelX + 1 49275 KachelY 80370 -0.77950192 -0.65778261 -44.662170 -37.688167
    Unten links KachelX 49274 KachelY + 1 80371 -0.77954986 -0.65782055 -44.664917 -37.690341
    Unten rechts KachelX + 1 49275 KachelY + 1 80371 -0.77950192 -0.65782055 -44.662170 -37.690341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65778261--0.65782055) × R
    3.79399999999031e-05 × 6371000     		dl = 241.715739999382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65778261--0.65782055) × R
    3.79399999999031e-05 × 6371000     		dr = 241.715739999382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77954986--0.77950192) × cos(-0.65778261) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.791349807436299 × 6371000     		do = 241.69860053549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77954986--0.77950192) × cos(-0.65782055) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.791326611730811 × 6371000     		du = 241.691515969977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65778261)-sin(-0.65782055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.791349807436299-0.791326611730811)×R²
    abs(-0.77950192--0.77954986)×2.31957054878107e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31957054878107e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31957054878107e-05×40589641000000     		ar = 58421.4998667621m²