Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49272 / 51560
↖ ↑ ↗
← S 71.258480°
E 90.659180°		 ← 196.27 m → S 71.258480°
E 90.664673°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
S 71.260245°
E 90.659180°		 ← 196.25 m →
38 511 m²		 S 71.260245°
E 90.664673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751838684082031 y=0.786750793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751838684082031 × 216)
    floor (0.751838684082031 × 65536)
    floor (49272.5)     		tx = 49272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786750793457031 × 216)
    floor (0.786750793457031 × 65536)
    floor (51560.5)     		ty = 51560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49272 / 51560 ti = "16/49272/51560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49272/51560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49272 ÷ 216
    49272 ÷ 65536     		x = 0.7518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51560 ÷ 216
    51560 ÷ 65536     		y = 0.7867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7518310546875 × 2 - 1) × π
    0.503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58230118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.573486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80166043532019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58230118} λ = 1.58230118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80166043532019))-π/2
    2×atan(0.165024647851401)-π/2
    2×0.16355061332445-π/2
    0.3271012266489-1.57079632675     		φ = -1.24369510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58230118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24369510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.258480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49272 KachelY 51560 1.58230118 -1.24369510 90.659180 -71.258480
    Oben rechts KachelX + 1 49273 KachelY 51560 1.58239706 -1.24369510 90.664673 -71.258480
    Unten links KachelX 49272 KachelY + 1 51561 1.58230118 -1.24372590 90.659180 -71.260245
    Unten rechts KachelX + 1 49273 KachelY + 1 51561 1.58239706 -1.24372590 90.664673 -71.260245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24369510--1.24372590) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24369510--1.24372590) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58230118-1.58239706) × cos(-1.24369510) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.321299308591804 × 6371000     		do = 196.266158176152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58230118-1.58239706) × cos(-1.24372590) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.321270141526413 × 6371000     		du = 196.24834143109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24369510)-sin(-1.24372590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321299308591804-0.321270141526413)×R²
    abs(1.58239706-1.58230118)×2.91670653914666e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.91670653914666e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.91670653914666e-05×40589641000000     		ar = 38510.9321086809m²