Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49272 / 50585
↖ ↑ ↗
← S 69.459481°
E 90.659180°		 ← 214.33 m → S 69.459481°
E 90.664673°		 →
↑
214.32 m
↓
↑
214.32 m
↓
S 69.461408°
E 90.659180°		 ← 214.31 m →
45 933 m²		 S 69.461408°
E 90.664673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751838684082031 y=0.771873474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751838684082031 × 216)
    floor (0.751838684082031 × 65536)
    floor (49272.5)     		tx = 49272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771873474121094 × 216)
    floor (0.771873474121094 × 65536)
    floor (50585.5)     		ty = 50585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49272 / 50585 ti = "16/49272/50585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49272/50585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49272 ÷ 216
    49272 ÷ 65536     		x = 0.7518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50585 ÷ 216
    50585 ÷ 65536     		y = 0.771865844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7518310546875 × 2 - 1) × π
    0.503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58230118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771865844726562 × 2 - 1) × π
    -0.543731689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70818348106108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58230118} λ = 1.58230118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70818348106108))-π/2
    2×atan(0.181194637340723)-π/2
    2×0.179249842563959-π/2
    0.358499685127919-1.57079632675     		φ = -1.21229664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58230118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21229664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.459481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49272 KachelY 50585 1.58230118 -1.21229664 90.659180 -69.459481
    Oben rechts KachelX + 1 49273 KachelY 50585 1.58239706 -1.21229664 90.664673 -69.459481
    Unten links KachelX 49272 KachelY + 1 50586 1.58230118 -1.21233028 90.659180 -69.461408
    Unten rechts KachelX + 1 49273 KachelY + 1 50586 1.58239706 -1.21233028 90.664673 -69.461408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21229664--1.21233028) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dl = 214.320440000363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21229664--1.21233028) × R
    3.3640000000057e-05 × 6371000     		dr = 214.320440000363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58230118-1.58239706) × cos(-1.21229664) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350869698964727 × 6371000     		do = 214.329274899617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58230118-1.58239706) × cos(-1.21233028) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.350838197453025 × 6371000     		du = 214.310032154572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21229664)-sin(-1.21233028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350869698964727-0.350838197453025)×R²
    abs(1.58239706-1.58230118)×3.1501511702392e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.1501511702392e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.1501511702392e-05×40589641000000     		ar = 45933.0824490168m²