Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49269 / 80227
↖ ↑ ↗
← S 37.376705°
W 44.678650°		 ← 242.71 m → S 37.376705°
W 44.675903°		 →
↑
242.67 m
↓
↑
242.67 m
↓
S 37.378888°
W 44.678650°		 ← 242.70 m →
58 898 m²		 S 37.378888°
W 44.675903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375896453857422 y=0.612087249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375896453857422 × 217)
    floor (0.375896453857422 × 131072)
    floor (49269.5)     		tx = 49269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612087249755859 × 217)
    floor (0.612087249755859 × 131072)
    floor (80227.5)     		ty = 80227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49269 / 80227 ti = "17/49269/80227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49269/80227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49269 ÷ 217
    49269 ÷ 131072     		x = 0.375892639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80227 ÷ 217
    80227 ÷ 131072     		y = 0.612083435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375892639160156 × 2 - 1) × π
    -0.248214721679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.77978955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612083435058594 × 2 - 1) × π
    -0.224166870117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.704240992318245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77978955} λ = -0.77978955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704240992318245))-π/2
    2×atan(0.494483748821801)-π/2
    2×0.459224878073983-π/2
    0.918449756147966-1.57079632675     		φ = -0.65234657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77978955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.678650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65234657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.376705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49269 KachelY 80227 -0.77978955 -0.65234657 -44.678650 -37.376705
    Oben rechts KachelX + 1 49270 KachelY 80227 -0.77974161 -0.65234657 -44.675903 -37.376705
    Unten links KachelX 49269 KachelY + 1 80228 -0.77978955 -0.65238466 -44.678650 -37.378888
    Unten rechts KachelX + 1 49270 KachelY + 1 80228 -0.77974161 -0.65238466 -44.675903 -37.378888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65234657--0.65238466) × R
    3.80899999999906e-05 × 6371000     		dl = 242.67138999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65234657--0.65238466) × R
    3.80899999999906e-05 × 6371000     		dr = 242.67138999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77978955--0.77974161) × cos(-0.65234657) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.794661495814997 × 6371000     		do = 242.710075409205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77978955--0.77974161) × cos(-0.65238466) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.794638372597225 × 6371000     		du = 242.703012983306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65234657)-sin(-0.65238466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794661495814997-0.794638372597225)×R²
    abs(-0.77974161--0.77978955)×2.3123217772314e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3123217772314e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3123217772314e-05×40589641000000     		ar = 58897.9344491814m²