Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49268 / 80220
↖ ↑ ↗
← S 37.361426°
W 44.681396°		 ← 242.71 m → S 37.361426°
W 44.678650°		 →
↑
242.74 m
↓
↑
242.74 m
↓
S 37.363609°
W 44.681396°		 ← 242.70 m →
58 913 m²		 S 37.363609°
W 44.678650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375888824462891 y=0.612033843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375888824462891 × 217)
    floor (0.375888824462891 × 131072)
    floor (49268.5)     		tx = 49268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612033843994141 × 217)
    floor (0.612033843994141 × 131072)
    floor (80220.5)     		ty = 80220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49268 / 80220 ti = "17/49268/80220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49268/80220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49268 ÷ 217
    49268 ÷ 131072     		x = 0.375885009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80220 ÷ 217
    80220 ÷ 131072     		y = 0.612030029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.24822998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77983748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612030029296875 × 2 - 1) × π
    -0.22406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.703905434020905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77983748} λ = -0.77983748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.703905434020905))-π/2
    2×atan(0.494649704789011)-π/2
    2×0.459358219282034-π/2
    0.918716438564068-1.57079632675     		φ = -0.65207989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77983748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.681396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65207989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.361426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49268 KachelY 80220 -0.77983748 -0.65207989 -44.681396 -37.361426
    Oben rechts KachelX + 1 49269 KachelY 80220 -0.77978955 -0.65207989 -44.678650 -37.361426
    Unten links KachelX 49268 KachelY + 1 80221 -0.77983748 -0.65211799 -44.681396 -37.363609
    Unten rechts KachelX + 1 49269 KachelY + 1 80221 -0.77978955 -0.65211799 -44.678650 -37.363609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65207989--0.65211799) × R
    3.81000000000409e-05 × 6371000     		dl = 242.73510000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65207989--0.65211799) × R
    3.81000000000409e-05 × 6371000     		dr = 242.73510000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77983748--0.77978955) × cos(-0.65207989) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.794823356397442 × 6371000     		do = 242.708873600523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77983748--0.77978955) × cos(-0.65211799) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.794800235183708 × 6371000     		du = 242.701813259761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65207989)-sin(-0.65211799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794823356397442-0.794800235183708)×R²
    abs(-0.77978955--0.77983748)×2.31212137338233e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.31212137338233e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.31212137338233e-05×40589641000000     		ar = 58913.1058153436m²