Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49268 / 114643
↖ ↑ ↗
← S 79.148090°
W 44.681396°		 ← 57.49 m → S 79.148090°
W 44.678650°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
S 79.148607°
W 44.681396°		 ← 57.49 m →
3 307 m²		 S 79.148607°
W 44.678650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375888824462891 y=0.874660491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375888824462891 × 217)
    floor (0.375888824462891 × 131072)
    floor (49268.5)     		tx = 49268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874660491943359 × 217)
    floor (0.874660491943359 × 131072)
    floor (114643.5)     		ty = 114643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49268 / 114643 ti = "17/49268/114643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49268/114643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49268 ÷ 217
    49268 ÷ 131072     		x = 0.375885009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114643 ÷ 217
    114643 ÷ 131072     		y = 0.874656677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.24822998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.77983748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874656677246094 × 2 - 1) × π
    -0.749313354492188 × 3.1415926535     		Φ = -2.3540373296421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77983748} λ = -0.77983748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3540373296421))-π/2
    2×atan(0.0949849016851643)-π/2
    2×0.0947007826958943-π/2
    0.189401565391789-1.57079632675     		φ = -1.38139476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77983748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.681396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38139476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.148090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49268 KachelY 114643 -0.77983748 -1.38139476 -44.681396 -79.148090
    Oben rechts KachelX + 1 49269 KachelY 114643 -0.77978955 -1.38139476 -44.678650 -79.148090
    Unten links KachelX 49268 KachelY + 1 114644 -0.77983748 -1.38140379 -44.681396 -79.148607
    Unten rechts KachelX + 1 49269 KachelY + 1 114644 -0.77978955 -1.38140379 -44.678650 -79.148607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38139476--1.38140379) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38139476--1.38140379) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77983748--0.77978955) × cos(-1.38139476) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.18827119725244 × 6371000     		do = 57.4908749834376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77983748--0.77978955) × cos(-1.38140379) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.188262328727544 × 6371000     		du = 57.4881668726721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38139476)-sin(-1.38140379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18827119725244-0.188262328727544)×R²
    abs(-0.77978955--0.77983748)×8.86852489645484e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.86852489645484e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.86852489645484e-06×40589641000000     		ar = 3307.3796126109m²