Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49267 / 80225
↖ ↑ ↗
← S 37.372340°
W 44.684143°		 ← 242.72 m → S 37.372340°
W 44.681396°		 →
↑
242.74 m
↓
↑
242.74 m
↓
S 37.374523°
W 44.684143°		 ← 242.72 m →
58 917 m²		 S 37.374523°
W 44.681396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375881195068359 y=0.612071990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375881195068359 × 217)
    floor (0.375881195068359 × 131072)
    floor (49267.5)     		tx = 49267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612071990966797 × 217)
    floor (0.612071990966797 × 131072)
    floor (80225.5)     		ty = 80225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49267 / 80225 ti = "17/49267/80225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49267/80225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49267 ÷ 217
    49267 ÷ 131072     		x = 0.375877380371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80225 ÷ 217
    80225 ÷ 131072     		y = 0.612068176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375877380371094 × 2 - 1) × π
    -0.248245239257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.77988542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.612068176269531 × 2 - 1) × π
    -0.224136352539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.704145118519005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77988542} λ = -0.77988542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.704145118519005))-π/2
    2×atan(0.494531159130129)-π/2
    2×0.459262972790839-π/2
    0.918525945581677-1.57079632675     		φ = -0.65227038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77988542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.684143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65227038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.372340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49267 KachelY 80225 -0.77988542 -0.65227038 -44.684143 -37.372340
    Oben rechts KachelX + 1 49268 KachelY 80225 -0.77983748 -0.65227038 -44.681396 -37.372340
    Unten links KachelX 49267 KachelY + 1 80226 -0.77988542 -0.65230848 -44.684143 -37.374523
    Unten rechts KachelX + 1 49268 KachelY + 1 80226 -0.77983748 -0.65230848 -44.681396 -37.374523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65227038--0.65230848) × R
    3.80999999999299e-05 × 6371000     		dl = 242.735099999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65227038--0.65230848) × R
    3.80999999999299e-05 × 6371000     		dr = 242.735099999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77988542--0.77983748) × cos(-0.65227038) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.794707744861632 × 6371000     		do = 242.724201058498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77988542--0.77983748) × cos(-0.65230848) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.794684617879836 × 6371000     		du = 242.717137482969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65227038)-sin(-0.65230848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.794707744861632-0.794684617879836)×R²
    abs(-0.77983748--0.77988542)×2.31269817950741e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31269817950741e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31269817950741e-05×40589641000000     		ar = 58916.8259344975m²