Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49265 / 58862
↖ ↑ ↗
← N 18.025751°
W 44.689636°		 ← 290.37 m → N 18.025751°
W 44.686890°		 →
↑
290.39 m
↓
↑
290.39 m
↓
N 18.023140°
W 44.689636°		 ← 290.38 m →
84 322 m²		 N 18.023140°
W 44.686890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375865936279297 y=0.449085235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375865936279297 × 217)
    floor (0.375865936279297 × 131072)
    floor (49265.5)     		tx = 49265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449085235595703 × 217)
    floor (0.449085235595703 × 131072)
    floor (58862.5)     		ty = 58862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49265 / 58862 ti = "17/49265/58862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49265/58862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49265 ÷ 217
    49265 ÷ 131072     		x = 0.375862121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58862 ÷ 217
    58862 ÷ 131072     		y = 0.449081420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375862121582031 × 2 - 1) × π
    -0.248275756835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.77998129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449081420898438 × 2 - 1) × π
    0.101837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.319930868064255
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77998129} λ = -0.77998129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319930868064255))-π/2
    2×atan(1.37703256411857)-π/2
    2×0.942702518395727-π/2
    1.88540503679145-1.57079632675     		φ = 0.31460871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77998129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.689636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31460871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.025751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49265 KachelY 58862 -0.77998129 0.31460871 -44.689636 18.025751
    Oben rechts KachelX + 1 49266 KachelY 58862 -0.77993336 0.31460871 -44.686890 18.025751
    Unten links KachelX 49265 KachelY + 1 58863 -0.77998129 0.31456313 -44.689636 18.023140
    Unten rechts KachelX + 1 49266 KachelY + 1 58863 -0.77993336 0.31456313 -44.686890 18.023140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31460871-0.31456313) × R
    4.55799999999895e-05 × 6371000     		dl = 290.390179999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31460871-0.31456313) × R
    4.55799999999895e-05 × 6371000     		dr = 290.390179999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77998129--0.77993336) × cos(0.31460871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.950917534210786 × 6371000     		do = 290.374108609378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77998129--0.77993336) × cos(0.31456313) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.950931637699224 × 6371000     		du = 290.378415279237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31460871)-sin(0.31456313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950917534210786-0.950931637699224)×R²
    abs(-0.77993336--0.77998129)×1.41034884384439e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41034884384439e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41034884384439e-05×40589641000000     		ar = 84322.4149883107m²