Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49263 / 58863
↖ ↑ ↗
← N 18.023140°
W 44.695130°		 ← 290.44 m → N 18.023140°
W 44.692383°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 18.020528°
W 44.695130°		 ← 290.44 m →
84 360 m²		 N 18.020528°
W 44.692383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375850677490234 y=0.449092864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375850677490234 × 217)
    floor (0.375850677490234 × 131072)
    floor (49263.5)     		tx = 49263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449092864990234 × 217)
    floor (0.449092864990234 × 131072)
    floor (58863.5)     		ty = 58863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49263 / 58863 ti = "17/49263/58863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49263/58863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49263 ÷ 217
    49263 ÷ 131072     		x = 0.375846862792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58863 ÷ 217
    58863 ÷ 131072     		y = 0.449089050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375846862792969 × 2 - 1) × π
    -0.248306274414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.78007717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449089050292969 × 2 - 1) × π
    0.101821899414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.319882931164635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78007717} λ = -0.78007717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319882931164635))-π/2
    2×atan(1.37696655502891)-π/2
    2×0.942679726207496-π/2
    1.88535945241499-1.57079632675     		φ = 0.31456313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78007717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.695130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31456313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.023140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49263 KachelY 58863 -0.78007717 0.31456313 -44.695130 18.023140
    Oben rechts KachelX + 1 49264 KachelY 58863 -0.78002923 0.31456313 -44.692383 18.023140
    Unten links KachelX 49263 KachelY + 1 58864 -0.78007717 0.31451754 -44.695130 18.020528
    Unten rechts KachelX + 1 49264 KachelY + 1 58864 -0.78002923 0.31451754 -44.692383 18.020528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31456313-0.31451754) × R
    4.55900000000398e-05 × 6371000     		dl = 290.453890000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31456313-0.31451754) × R
    4.55900000000398e-05 × 6371000     		dr = 290.453890000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78007717--0.78002923) × cos(0.31456313) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950931637699224 × 6371000     		do = 290.438999133507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78007717--0.78002923) × cos(0.31451754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950945742305645 × 6371000     		du = 290.44330704336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31456313)-sin(0.31451754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950931637699224-0.950945742305645)×R²
    abs(-0.78002923--0.78007717)×1.41046064205952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41046064205952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41046064205952e-05×40589641000000     		ar = 84359.7627452939m²