Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49262 / 82070
↖ ↑ ↗
← S 41.290190°
W 44.697876°		 ← 229.44 m → S 41.290190°
W 44.695130°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
S 41.292254°
W 44.697876°		 ← 229.43 m →
52 652 m²		 S 41.292254°
W 44.695130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375843048095703 y=0.626148223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375843048095703 × 217)
    floor (0.375843048095703 × 131072)
    floor (49262.5)     		tx = 49262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626148223876953 × 217)
    floor (0.626148223876953 × 131072)
    floor (82070.5)     		ty = 82070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49262 / 82070 ti = "17/49262/82070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49262/82070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49262 ÷ 217
    49262 ÷ 131072     		x = 0.375839233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82070 ÷ 217
    82070 ÷ 131072     		y = 0.626144409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375839233398438 × 2 - 1) × π
    -0.248321533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78012510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626144409179688 × 2 - 1) × π
    -0.252288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.792588698318008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78012510} λ = -0.78012510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792588698318008))-π/2
    2×atan(0.452671447401267)-π/2
    2×0.425073281653911-π/2
    0.850146563307822-1.57079632675     		φ = -0.72064976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78012510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.697876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72064976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.290190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49262 KachelY 82070 -0.78012510 -0.72064976 -44.697876 -41.290190
    Oben rechts KachelX + 1 49263 KachelY 82070 -0.78007717 -0.72064976 -44.695130 -41.290190
    Unten links KachelX 49262 KachelY + 1 82071 -0.78012510 -0.72068578 -44.697876 -41.292254
    Unten rechts KachelX + 1 49263 KachelY + 1 82071 -0.78007717 -0.72068578 -44.695130 -41.292254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72064976--0.72068578) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72064976--0.72068578) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78012510--0.78007717) × cos(-0.72064976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.751377128684887 × 6371000     		do = 229.442045310929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78012510--0.78007717) × cos(-0.72068578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.751353359571061 × 6371000     		du = 229.43478712608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72064976)-sin(-0.72068578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751377128684887-0.751353359571061)×R²
    abs(-0.78007717--0.78012510)×2.37691138261775e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37691138261775e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37691138261775e-05×40589641000000     		ar = 52652.3124389384m²