Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49260 / 81073
↖ ↑ ↗
← S 39.200334°
W 44.703369°		 ← 236.69 m → S 39.200334°
W 44.700622°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
S 39.202462°
W 44.703369°		 ← 236.68 m →
56 019 m²		 S 39.202462°
W 44.700622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375827789306641 y=0.618541717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375827789306641 × 217)
    floor (0.375827789306641 × 131072)
    floor (49260.5)     		tx = 49260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618541717529297 × 217)
    floor (0.618541717529297 × 131072)
    floor (81073.5)     		ty = 81073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49260 / 81073 ti = "17/49260/81073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49260/81073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49260 ÷ 217
    49260 ÷ 131072     		x = 0.375823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81073 ÷ 217
    81073 ÷ 131072     		y = 0.618537902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.24835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78022098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618537902832031 × 2 - 1) × π
    -0.237075805664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.744795609396812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78022098} λ = -0.78022098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.744795609396812))-π/2
    2×atan(0.474831341086642)-π/2
    2×0.443310716888965-π/2
    0.88662143377793-1.57079632675     		φ = -0.68417489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78022098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.703369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68417489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.200334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49260 KachelY 81073 -0.78022098 -0.68417489 -44.703369 -39.200334
    Oben rechts KachelX + 1 49261 KachelY 81073 -0.78017304 -0.68417489 -44.700622 -39.200334
    Unten links KachelX 49260 KachelY + 1 81074 -0.78022098 -0.68421204 -44.703369 -39.202462
    Unten rechts KachelX + 1 49261 KachelY + 1 81074 -0.78017304 -0.68421204 -44.700622 -39.202462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68417489--0.68421204) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dl = 236.682650000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68417489--0.68421204) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dr = 236.682650000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78022098--0.78017304) × cos(-0.68417489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774940808246488 × 6371000     		do = 236.686869814726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78022098--0.78017304) × cos(-0.68421204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774917327655497 × 6371000     		du = 236.679698237848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68417489)-sin(-0.68421204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774940808246488-0.774917327655497)×R²
    abs(-0.78017304--0.78022098)×2.34805909906655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34805909906655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34805909906655e-05×40589641000000     		ar = 56018.8268804097m²