Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49259 / 48984
↖ ↑ ↗
← S 66.142743°
E 90.587768°		 ← 247.06 m → S 66.142743°
E 90.593262°		 →
↑
247 m
↓
↑
247 m
↓
S 66.144964°
E 90.587768°		 ← 247.04 m →
61 023 m²		 S 66.144964°
E 90.593262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751640319824219 y=0.747444152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751640319824219 × 216)
    floor (0.751640319824219 × 65536)
    floor (49259.5)     		tx = 49259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747444152832031 × 216)
    floor (0.747444152832031 × 65536)
    floor (48984.5)     		ty = 48984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49259 / 48984 ti = "16/49259/48984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49259/48984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49259 ÷ 216
    49259 ÷ 65536     		x = 0.751632690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48984 ÷ 216
    48984 ÷ 65536     		y = 0.7474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751632690429688 × 2 - 1) × π
    0.503265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.58105482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55468952847766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58105482} λ = 1.58105482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55468952847766))-π/2
    2×atan(0.211254961109698)-π/2
    2×0.208193845230594-π/2
    0.416387690461188-1.57079632675     		φ = -1.15440864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58105482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.587768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15440864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.142743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49259 KachelY 48984 1.58105482 -1.15440864 90.587768 -66.142743
    Oben rechts KachelX + 1 49260 KachelY 48984 1.58115070 -1.15440864 90.593262 -66.142743
    Unten links KachelX 49259 KachelY + 1 48985 1.58105482 -1.15444741 90.587768 -66.144964
    Unten rechts KachelX + 1 49260 KachelY + 1 48985 1.58115070 -1.15444741 90.593262 -66.144964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15440864--1.15444741) × R
    3.87699999999658e-05 × 6371000     		dl = 247.003669999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15440864--1.15444741) × R
    3.87699999999658e-05 × 6371000     		dr = 247.003669999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58105482-1.58115070) × cos(-1.15440864) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.404459436605554 × 6371000     		do = 247.064645450307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58105482-1.58115070) × cos(-1.15444741) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.404423978967864 × 6371000     		du = 247.042986099847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15440864)-sin(-1.15444741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404459436605554-0.404423978967864)×R²
    abs(1.58115070-1.58105482)×3.54576376901394e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.54576376901394e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.54576376901394e-05×40589641000000     		ar = 61023.1991916038m²