Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49258 / 114646
↖ ↑ ↗
← S 79.149641°
W 44.708862°		 ← 57.48 m → S 79.149641°
W 44.706116°		 →
↑
57.53 m
↓
↑
57.53 m
↓
S 79.150158°
W 44.708862°		 ← 57.48 m →
3 307 m²		 S 79.150158°
W 44.706116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375812530517578 y=0.874683380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375812530517578 × 217)
    floor (0.375812530517578 × 131072)
    floor (49258.5)     		tx = 49258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874683380126953 × 217)
    floor (0.874683380126953 × 131072)
    floor (114646.5)     		ty = 114646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49258 / 114646 ti = "17/49258/114646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49258/114646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49258 ÷ 217
    49258 ÷ 131072     		x = 0.375808715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114646 ÷ 217
    114646 ÷ 131072     		y = 0.874679565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375808715820312 × 2 - 1) × π
    -0.248382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78031685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874679565429688 × 2 - 1) × π
    -0.749359130859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.35418114034096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78031685} λ = -0.78031685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35418114034096))-π/2
    2×atan(0.0949712428222407)-π/2
    2×0.0946872459457497-π/2
    0.189374491891499-1.57079632675     		φ = -1.38142183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78031685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.708862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38142183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.149641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49258 KachelY 114646 -0.78031685 -1.38142183 -44.708862 -79.149641
    Oben rechts KachelX + 1 49259 KachelY 114646 -0.78026892 -1.38142183 -44.706116 -79.149641
    Unten links KachelX 49258 KachelY + 1 114647 -0.78031685 -1.38143086 -44.708862 -79.150158
    Unten rechts KachelX + 1 49259 KachelY + 1 114647 -0.78026892 -1.38143086 -44.706116 -79.150158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38142183--1.38143086) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dl = 57.5301299997799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38142183--1.38143086) × R
    9.02999999996545e-06 × 6371000     		dr = 57.5301299997799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78031685--0.78026892) × cos(-1.38142183) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.188244611274142 × 6371000     		do = 57.4827566351348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78031685--0.78026892) × cos(-1.38143086) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.188235742703228 × 6371000     		du = 57.4800485103175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38142183)-sin(-1.38143086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188244611274142-0.188235742703228)×R²
    abs(-0.78026892--0.78031685)×8.86857091353388e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.86857091353388e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.86857091353388e-06×40589641000000     		ar = 3306.91256250062m²