Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49255 / 58847
↖ ↑ ↗
← N 18.064923°
W 44.717102°		 ← 290.31 m → N 18.064923°
W 44.714356°		 →
↑
290.33 m
↓
↑
290.33 m
↓
N 18.062312°
W 44.717102°		 ← 290.31 m →
84 285 m²		 N 18.062312°
W 44.714356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375789642333984 y=0.448970794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375789642333984 × 217)
    floor (0.375789642333984 × 131072)
    floor (49255.5)     		tx = 49255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448970794677734 × 217)
    floor (0.448970794677734 × 131072)
    floor (58847.5)     		ty = 58847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49255 / 58847 ti = "17/49255/58847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49255/58847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49255 ÷ 217
    49255 ÷ 131072     		x = 0.375785827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58847 ÷ 217
    58847 ÷ 131072     		y = 0.448966979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375785827636719 × 2 - 1) × π
    -0.248428344726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.78046066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448966979980469 × 2 - 1) × π
    0.102066040039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.320649921558556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78046066} λ = -0.78046066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320649921558556))-π/2
    2×atan(1.37802308026993)-π/2
    2×0.943044360624406-π/2
    1.88608872124881-1.57079632675     		φ = 0.31529239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78046066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.717102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31529239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.064923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49255 KachelY 58847 -0.78046066 0.31529239 -44.717102 18.064923
    Oben rechts KachelX + 1 49256 KachelY 58847 -0.78041273 0.31529239 -44.714356 18.064923
    Unten links KachelX 49255 KachelY + 1 58848 -0.78046066 0.31524682 -44.717102 18.062312
    Unten rechts KachelX + 1 49256 KachelY + 1 58848 -0.78041273 0.31524682 -44.714356 18.062312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31529239-0.31524682) × R
    4.55699999999948e-05 × 6371000     		dl = 290.326469999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31529239-0.31524682) × R
    4.55699999999948e-05 × 6371000     		dr = 290.326469999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78046066--0.78041273) × cos(0.31529239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.950705751034622 × 6371000     		do = 290.309438068784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78046066--0.78041273) × cos(0.31524682) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.95071988105209 × 6371000     		du = 290.313752839603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31529239)-sin(0.31524682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950705751034622-0.95071988105209)×R²
    abs(-0.78041273--0.78046066)×1.41300174684167e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41300174684167e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41300174684167e-05×40589641000000     		ar = 84285.1407228486m²