Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49254 / 58848
↖ ↑ ↗
← N 18.062312°
W 44.719849°		 ← 290.37 m → N 18.062312°
W 44.717102°		 →
↑
290.33 m
↓
↑
290.33 m
↓
N 18.059701°
W 44.719849°		 ← 290.38 m →
84 304 m²		 N 18.059701°
W 44.717102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375782012939453 y=0.448978424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375782012939453 × 217)
    floor (0.375782012939453 × 131072)
    floor (49254.5)     		tx = 49254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448978424072266 × 217)
    floor (0.448978424072266 × 131072)
    floor (58848.5)     		ty = 58848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49254 / 58848 ti = "17/49254/58848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49254/58848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49254 ÷ 217
    49254 ÷ 131072     		x = 0.375778198242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58848 ÷ 217
    58848 ÷ 131072     		y = 0.448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375778198242188 × 2 - 1) × π
    -0.248443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78050860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448974609375 × 2 - 1) × π
    0.10205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.320601984658936
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78050860} λ = -0.78050860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320601984658936))-π/2
    2×atan(1.37795702369915)-π/2
    2×0.943021573512005-π/2
    1.88604314702401-1.57079632675     		φ = 0.31524682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78050860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.719849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31524682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.062312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49254 KachelY 58848 -0.78050860 0.31524682 -44.719849 18.062312
    Oben rechts KachelX + 1 49255 KachelY 58848 -0.78046066 0.31524682 -44.717102 18.062312
    Unten links KachelX 49254 KachelY + 1 58849 -0.78050860 0.31520125 -44.719849 18.059701
    Unten rechts KachelX + 1 49255 KachelY + 1 58849 -0.78046066 0.31520125 -44.717102 18.059701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31524682-0.31520125) × R
    4.55699999999948e-05 × 6371000     		dl = 290.326469999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31524682-0.31520125) × R
    4.55699999999948e-05 × 6371000     		dr = 290.326469999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78050860--0.78046066) × cos(0.31524682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95071988105209 × 6371000     		do = 290.374323202856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78050860--0.78046066) × cos(0.31520125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95073400909527 × 6371000     		du = 290.378638270899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31524682)-sin(0.31520125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95071988105209-0.95073400909527)×R²
    abs(-0.78046066--0.78050860)×1.41280431799062e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41280431799062e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41280431799062e-05×40589641000000     		ar = 84303.9786380324m²