Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49250 / 50566
↖ ↑ ↗
← S 69.422829°
E 90.538330°		 ← 214.67 m → S 69.422829°
E 90.543823°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 69.424760°
E 90.538330°		 ← 214.65 m →
46 089 m²		 S 69.424760°
E 90.543823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751502990722656 y=0.771583557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751502990722656 × 216)
    floor (0.751502990722656 × 65536)
    floor (49250.5)     		tx = 49250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771583557128906 × 216)
    floor (0.771583557128906 × 65536)
    floor (50566.5)     		ty = 50566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49250 / 50566 ti = "16/49250/50566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49250/50566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49250 ÷ 216
    49250 ÷ 65536     		x = 0.751495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50566 ÷ 216
    50566 ÷ 65536     		y = 0.771575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751495361328125 × 2 - 1) × π
    0.50299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.58019196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.54315185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.70636187887552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58019196} λ = 1.58019196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70636187887552))-π/2
    2×atan(0.181525002693887)-π/2
    2×0.179569687763215-π/2
    0.359139375526429-1.57079632675     		φ = -1.21165695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58019196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.538330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21165695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.422829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49250 KachelY 50566 1.58019196 -1.21165695 90.538330 -69.422829
    Oben rechts KachelX + 1 49251 KachelY 50566 1.58028783 -1.21165695 90.543823 -69.422829
    Unten links KachelX 49250 KachelY + 1 50567 1.58019196 -1.21169065 90.538330 -69.424760
    Unten rechts KachelX + 1 49251 KachelY + 1 50567 1.58028783 -1.21169065 90.543823 -69.424760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21165695--1.21169065) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dl = 214.702699999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21165695--1.21169065) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dr = 214.702699999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58019196-1.58028783) × cos(-1.21165695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351468648390604 × 6371000     		do = 214.672751975407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58019196-1.58028783) × cos(-1.21169065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351437098262744 × 6371000     		du = 214.653481543168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21165695)-sin(-1.21169065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351468648390604-0.351437098262744)×R²
    abs(1.58028783-1.58019196)×3.15501278603247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15501278603247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15501278603247e-05×40589641000000     		ar = 46088.7507628054m²