Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49249 / 58785
↖ ↑ ↗
← N 18.226743°
W 44.733581°		 ← 290.04 m → N 18.226743°
W 44.730835°		 →
↑
290.07 m
↓
↑
290.07 m
↓
N 18.224134°
W 44.733581°		 ← 290.05 m →
84 133 m²		 N 18.224134°
W 44.730835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375743865966797 y=0.448497772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375743865966797 × 217)
    floor (0.375743865966797 × 131072)
    floor (49249.5)     		tx = 49249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448497772216797 × 217)
    floor (0.448497772216797 × 131072)
    floor (58785.5)     		ty = 58785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49249 / 58785 ti = "17/49249/58785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49249/58785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49249 ÷ 217
    49249 ÷ 131072     		x = 0.375740051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58785 ÷ 217
    58785 ÷ 131072     		y = 0.448493957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375740051269531 × 2 - 1) × π
    -0.248519897460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.78074828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448493957519531 × 2 - 1) × π
    0.103012084960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.323622009334999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78074828} λ = -0.78074828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.323622009334999))-π/2
    2×atan(1.38212477810617)-π/2
    2×0.944456498381764-π/2
    1.88891299676353-1.57079632675     		φ = 0.31811667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78074828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.733581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31811667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.226743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49249 KachelY 58785 -0.78074828 0.31811667 -44.733581 18.226743
    Oben rechts KachelX + 1 49250 KachelY 58785 -0.78070035 0.31811667 -44.730835 18.226743
    Unten links KachelX 49249 KachelY + 1 58786 -0.78074828 0.31807114 -44.733581 18.224134
    Unten rechts KachelX + 1 49250 KachelY + 1 58786 -0.78070035 0.31807114 -44.730835 18.224134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31811667-0.31807114) × R
    4.55300000000158e-05 × 6371000     		dl = 290.071630000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31811667-0.31807114) × R
    4.55300000000158e-05 × 6371000     		dr = 290.071630000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78074828--0.78070035) × cos(0.31811667) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.949826166936637 × 6371000     		do = 290.040846482396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78074828--0.78070035) × cos(0.31807114) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.949840406747246 × 6371000     		du = 290.045194779871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31811667)-sin(0.31807114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949826166936637-0.949840406747246)×R²
    abs(-0.78070035--0.78074828)×1.4239810609662e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.4239810609662e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.4239810609662e-05×40589641000000     		ar = 84133.2517791589m²