Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49247 / 50530
↖ ↑ ↗
← S 69.353213°
E 90.521851°		 ← 215.37 m → S 69.353213°
E 90.527344°		 →
↑
215.34 m
↓
↑
215.34 m
↓
S 69.355149°
E 90.521851°		 ← 215.35 m →
46 375 m²		 S 69.355149°
E 90.527344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751457214355469 y=0.771034240722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751457214355469 × 216)
    floor (0.751457214355469 × 65536)
    floor (49247.5)     		tx = 49247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771034240722656 × 216)
    floor (0.771034240722656 × 65536)
    floor (50530.5)     		ty = 50530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49247 / 50530 ti = "16/49247/50530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49247/50530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49247 ÷ 216
    49247 ÷ 65536     		x = 0.751449584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50530 ÷ 216
    50530 ÷ 65536     		y = 0.771026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751449584960938 × 2 - 1) × π
    0.502899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57990434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771026611328125 × 2 - 1) × π
    -0.54205322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.70291042210287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57990434} λ = 1.57990434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70291042210287))-π/2
    2×atan(0.182152610852018)-π/2
    2×0.180177208032616-π/2
    0.360354416065232-1.57079632675     		φ = -1.21044191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57990434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.521851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21044191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.353213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49247 KachelY 50530 1.57990434 -1.21044191 90.521851 -69.353213
    Oben rechts KachelX + 1 49248 KachelY 50530 1.58000021 -1.21044191 90.527344 -69.353213
    Unten links KachelX 49247 KachelY + 1 50531 1.57990434 -1.21047571 90.521851 -69.355149
    Unten rechts KachelX + 1 49248 KachelY + 1 50531 1.58000021 -1.21047571 90.527344 -69.355149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21044191--1.21047571) × R
    3.38000000001948e-05 × 6371000     		dl = 215.339800001241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21044191--1.21047571) × R
    3.38000000001948e-05 × 6371000     		dr = 215.339800001241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57990434-1.58000021) × cos(-1.21044191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352605908695942 × 6371000     		do = 215.367376661213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57990434-1.58000021) × cos(-1.21047571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.352574279403873 × 6371000     		du = 215.348057876444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21044191)-sin(-1.21047571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352605908695942-0.352574279403873)×R²
    abs(1.58000021-1.57990434)×3.16292920689576e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16292920689576e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16292920689576e-05×40589641000000     		ar = 46375.087769614m²