Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49244 / 80980
↖ ↑ ↗
← S 39.002110°
W 44.747315°		 ← 237.35 m → S 39.002110°
W 44.744568°		 →
↑
237.32 m
↓
↑
237.32 m
↓
S 39.004245°
W 44.747315°		 ← 237.35 m →
56 328 m²		 S 39.004245°
W 44.744568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375705718994141 y=0.617832183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375705718994141 × 217)
    floor (0.375705718994141 × 131072)
    floor (49244.5)     		tx = 49244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617832183837891 × 217)
    floor (0.617832183837891 × 131072)
    floor (80980.5)     		ty = 80980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49244 / 80980 ti = "17/49244/80980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49244/80980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49244 ÷ 217
    49244 ÷ 131072     		x = 0.375701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80980 ÷ 217
    80980 ÷ 131072     		y = 0.617828369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.24859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78098797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617828369140625 × 2 - 1) × π
    -0.23565673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.740337477732147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78098797} λ = -0.78098797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.740337477732147))-π/2
    2×atan(0.476952927365335)-π/2
    2×0.445040543431936-π/2
    0.890081086863871-1.57079632675     		φ = -0.68071524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78098797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.747315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68071524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.002110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49244 KachelY 80980 -0.78098797 -0.68071524 -44.747315 -39.002110
    Oben rechts KachelX + 1 49245 KachelY 80980 -0.78094003 -0.68071524 -44.744568 -39.002110
    Unten links KachelX 49244 KachelY + 1 80981 -0.78098797 -0.68075249 -44.747315 -39.004245
    Unten rechts KachelX + 1 49245 KachelY + 1 80981 -0.78094003 -0.68075249 -44.744568 -39.004245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68071524--0.68075249) × R
    3.72499999999887e-05 × 6371000     		dl = 237.319749999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68071524--0.68075249) × R
    3.72499999999887e-05 × 6371000     		dr = 237.319749999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78098797--0.78094003) × cos(-0.68071524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777122781976022 × 6371000     		do = 237.35330075573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78098797--0.78094003) × cos(-0.68075249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.777099338186094 × 6371000     		du = 237.346140418842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68071524)-sin(-0.68075249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777122781976022-0.777099338186094)×R²
    abs(-0.78094003--0.78098797)×2.34437899284679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34437899284679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34437899284679e-05×40589641000000     		ar = 56327.7763590011m²