Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49244 / 58860
↖ ↑ ↗
← N 18.030975°
W 44.747315°		 ← 290.43 m → N 18.030975°
W 44.744568°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 18.028363°
W 44.747315°		 ← 290.43 m →
84 356 m²		 N 18.028363°
W 44.744568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375705718994141 y=0.449069976806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375705718994141 × 217)
    floor (0.375705718994141 × 131072)
    floor (49244.5)     		tx = 49244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449069976806641 × 217)
    floor (0.449069976806641 × 131072)
    floor (58860.5)     		ty = 58860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49244 / 58860 ti = "17/49244/58860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49244/58860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49244 ÷ 217
    49244 ÷ 131072     		x = 0.375701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58860 ÷ 217
    58860 ÷ 131072     		y = 0.449066162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.24859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78098797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449066162109375 × 2 - 1) × π
    0.10186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.320026741863495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78098797} λ = -0.78098797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.320026741863495))-π/2
    2×atan(1.37716459179106)-π/2
    2×0.94274810175787-π/2
    1.88549620351574-1.57079632675     		φ = 0.31469988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78098797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.747315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31469988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.030975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49244 KachelY 58860 -0.78098797 0.31469988 -44.747315 18.030975
    Oben rechts KachelX + 1 49245 KachelY 58860 -0.78094003 0.31469988 -44.744568 18.030975
    Unten links KachelX 49244 KachelY + 1 58861 -0.78098797 0.31465429 -44.747315 18.028363
    Unten rechts KachelX + 1 49245 KachelY + 1 58861 -0.78094003 0.31465429 -44.744568 18.028363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31469988-0.31465429) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dl = 290.4538899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31469988-0.31465429) × R
    4.55899999999843e-05 × 6371000     		dr = 290.4538899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78098797--0.78094003) × cos(0.31469988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95088931821193 × 6371000     		do = 290.426073672784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78098797--0.78094003) × cos(0.31465429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950903428746782 × 6371000     		du = 290.430383393333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31469988)-sin(0.31465429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95088931821193-0.950903428746782)×R²
    abs(-0.78094003--0.78098797)×1.41105348516746e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41105348516746e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41105348516746e-05×40589641000000     		ar = 84356.0087579001m²