Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49244 / 114627
↖ ↑ ↗
← S 79.139813°
W 44.747315°		 ← 57.55 m → S 79.139813°
W 44.744568°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
S 79.140331°
W 44.747315°		 ← 57.54 m →
3 314 m²		 S 79.140331°
W 44.744568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375705718994141 y=0.874538421630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375705718994141 × 217)
    floor (0.375705718994141 × 131072)
    floor (49244.5)     		tx = 49244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874538421630859 × 217)
    floor (0.874538421630859 × 131072)
    floor (114627.5)     		ty = 114627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49244 / 114627 ti = "17/49244/114627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49244/114627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49244 ÷ 217
    49244 ÷ 131072     		x = 0.375701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114627 ÷ 217
    114627 ÷ 131072     		y = 0.874534606933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.24859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78098797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874534606933594 × 2 - 1) × π
    -0.749069213867188 × 3.1415926535     		Φ = -2.35327033924818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78098797} λ = -0.78098797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35327033924818))-π/2
    2×atan(0.0950577821380552)-π/2
    2×0.094773010995435-π/2
    0.18954602199087-1.57079632675     		φ = -1.38125030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78098797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.747315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38125030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.139813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49244 KachelY 114627 -0.78098797 -1.38125030 -44.747315 -79.139813
    Oben rechts KachelX + 1 49245 KachelY 114627 -0.78094003 -1.38125030 -44.744568 -79.139813
    Unten links KachelX 49244 KachelY + 1 114628 -0.78098797 -1.38125934 -44.747315 -79.140331
    Unten rechts KachelX + 1 49245 KachelY + 1 114628 -0.78094003 -1.38125934 -44.744568 -79.140331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38125030--1.38125934) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38125030--1.38125934) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78098797--0.78094003) × cos(-1.38125030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18841307192065 × 6371000     		do = 57.5462019169999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78098797--0.78094003) × cos(-1.38125934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188404193820519 × 6371000     		du = 57.5434903166978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38125030)-sin(-1.38125934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18841307192065-0.188404193820519)×R²
    abs(-0.78094003--0.78098797)×8.8781001305327e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.8781001305327e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.8781001305327e-06×40589641000000     		ar = 3314.22866005434m²