Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49242 / 114666
↖ ↑ ↗
← S 79.159977°
W 44.752807°		 ← 57.43 m → S 79.159977°
W 44.750061°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
S 79.160493°
W 44.752807°		 ← 57.43 m →
3 296 m²		 S 79.160493°
W 44.750061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375690460205078 y=0.874835968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375690460205078 × 217)
    floor (0.375690460205078 × 131072)
    floor (49242.5)     		tx = 49242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874835968017578 × 217)
    floor (0.874835968017578 × 131072)
    floor (114666.5)     		ty = 114666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49242 / 114666 ti = "17/49242/114666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49242/114666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49242 ÷ 217
    49242 ÷ 131072     		x = 0.375686645507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114666 ÷ 217
    114666 ÷ 131072     		y = 0.874832153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375686645507812 × 2 - 1) × π
    -0.248626708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78108384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874832153320312 × 2 - 1) × π
    -0.749664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35513987833336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78108384} λ = -0.78108384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35513987833336))-π/2
    2×atan(0.0948802339173799)-π/2
    2×0.0945970497891184-π/2
    0.189194099578237-1.57079632675     		φ = -1.38160223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78108384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.752807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38160223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.159977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49242 KachelY 114666 -0.78108384 -1.38160223 -44.752807 -79.159977
    Oben rechts KachelX + 1 49243 KachelY 114666 -0.78103591 -1.38160223 -44.750061 -79.159977
    Unten links KachelX 49242 KachelY + 1 114667 -0.78108384 -1.38161124 -44.752807 -79.160493
    Unten rechts KachelX + 1 49243 KachelY + 1 114667 -0.78103591 -1.38161124 -44.750061 -79.160493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38160223--1.38161124) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dl = 57.4027100005543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38160223--1.38161124) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dr = 57.4027100005543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78108384--0.78103591) × cos(-1.38160223) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.188067433371629 × 6371000     		do = 57.4286532311525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78108384--0.78103591) × cos(-1.38161124) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.18805858413737 × 6371000     		du = 57.4259510110154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38160223)-sin(-1.38161124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188067433371629-0.18805858413737)×R²
    abs(-0.78103591--0.78108384)×8.84923425853446e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.84923425853446e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.84923425853446e-06×40589641000000     		ar = 3296.48276982452m²