Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49241 / 50539
↖ ↑ ↗
← S 69.370638°
E 90.488891°		 ← 215.22 m → S 69.370638°
E 90.494385°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
S 69.372574°
E 90.488891°		 ← 215.20 m →
46 315 m²		 S 69.372574°
E 90.494385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751365661621094 y=0.771171569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751365661621094 × 216)
    floor (0.751365661621094 × 65536)
    floor (49241.5)     		tx = 49241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771171569824219 × 216)
    floor (0.771171569824219 × 65536)
    floor (50539.5)     		ty = 50539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49241 / 50539 ti = "16/49241/50539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49241/50539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49241 ÷ 216
    49241 ÷ 65536     		x = 0.751358032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50539 ÷ 216
    50539 ÷ 65536     		y = 0.771163940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.751358032226562 × 2 - 1) × π
    0.502716064453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.57932909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771163940429688 × 2 - 1) × π
    -0.542327880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70377328629604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57932909} λ = 1.57932909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70377328629604))-π/2
    2×atan(0.181995505676386)-π/2
    2×0.180025143928693-π/2
    0.360050287857385-1.57079632675     		φ = -1.21074604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57932909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.488891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21074604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.370638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49241 KachelY 50539 1.57932909 -1.21074604 90.488891 -69.370638
    Oben rechts KachelX + 1 49242 KachelY 50539 1.57942497 -1.21074604 90.494385 -69.370638
    Unten links KachelX 49241 KachelY + 1 50540 1.57932909 -1.21077982 90.488891 -69.372574
    Unten rechts KachelX + 1 49242 KachelY + 1 50540 1.57942497 -1.21077982 90.494385 -69.372574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21074604--1.21077982) × R
    3.37799999998722e-05 × 6371000     		dl = 215.212379999186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21074604--1.21077982) × R
    3.37799999998722e-05 × 6371000     		dr = 215.212379999186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57932909-1.57942497) × cos(-1.21074604) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.352321296081278 × 6371000     		do = 215.215985146626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57932909-1.57942497) × cos(-1.21077982) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.352289681884009 × 6371000     		du = 215.196673567435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21074604)-sin(-1.21077982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352321296081278-0.352289681884009)×R²
    abs(1.57942497-1.57932909)×3.16141972686035e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.16141972686035e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.16141972686035e-05×40589641000000     		ar = 46315.0663362791m²