Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49240 / 50555
↖ ↑ ↗
← S 69.401582°
E 90.483398°		 ← 214.88 m → S 69.401582°
E 90.488891°		 →
↑
214.83 m
↓
↑
214.83 m
↓
S 69.403514°
E 90.483398°		 ← 214.87 m →
46 162 m²		 S 69.403514°
E 90.488891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751350402832031 y=0.771415710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751350402832031 × 216)
    floor (0.751350402832031 × 65536)
    floor (49240.5)     		tx = 49240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771415710449219 × 216)
    floor (0.771415710449219 × 65536)
    floor (50555.5)     		ty = 50555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49240 / 50555 ti = "16/49240/50555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49240/50555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49240 ÷ 216
    49240 ÷ 65536     		x = 0.7513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50555 ÷ 216
    50555 ÷ 65536     		y = 0.771408081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7513427734375 × 2 - 1) × π
    0.502685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.57923322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.771408081054688 × 2 - 1) × π
    -0.542816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.70530726708388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57923322} λ = 1.57923322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70530726708388))-π/2
    2×atan(0.181716542084303)-π/2
    2×0.17975511077036-π/2
    0.359510221540719-1.57079632675     		φ = -1.21128611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57923322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.483398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21128611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.401582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49240 KachelY 50555 1.57923322 -1.21128611 90.483398 -69.401582
    Oben rechts KachelX + 1 49241 KachelY 50555 1.57932909 -1.21128611 90.488891 -69.401582
    Unten links KachelX 49240 KachelY + 1 50556 1.57923322 -1.21131983 90.483398 -69.403514
    Unten rechts KachelX + 1 49241 KachelY + 1 50556 1.57932909 -1.21131983 90.488891 -69.403514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21128611--1.21131983) × R
    3.37200000000148e-05 × 6371000     		dl = 214.830120000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21128611--1.21131983) × R
    3.37200000000148e-05 × 6371000     		dr = 214.830120000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57923322-1.57932909) × cos(-1.21128611) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351815804494363 × 6371000     		do = 214.884790677863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57923322-1.57932909) × cos(-1.21131983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351784240039264 × 6371000     		du = 214.865511494722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21128611)-sin(-1.21131983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351815804494363-0.351784240039264)×R²
    abs(1.57932909-1.57923322)×3.15644550984984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15644550984984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15644550984984e-05×40589641000000     		ar = 46161.6544970524m²