Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4924 / 5235
↖ ↑ ↗
← S 44.684277°
E 36.386719°		 ← 3 474.26 m → S 44.684277°
E 36.430664°		 →
↑
3 473.34 m
↓
↑
3 473.34 m
↓
S 44.715514°
E 36.386719°		 ← 3 472.39 m →
12 064 038 m²		 S 44.715514°
E 36.430664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60113525390625 y=0.63909912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60113525390625 × 213)
    floor (0.60113525390625 × 8192)
    floor (4924.5)     		tx = 4924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63909912109375 × 213)
    floor (0.63909912109375 × 8192)
    floor (5235.5)     		ty = 5235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4924 / 5235 ti = "13/4924/5235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4924/5235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4924 ÷ 213
    4924 ÷ 8192     		x = 0.60107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5235 ÷ 213
    5235 ÷ 8192     		y = 0.6390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60107421875 × 2 - 1) × π
    0.2021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.63506805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6390380859375 × 2 - 1) × π
    -0.278076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.873602058675903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63506805} λ = 0.63506805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873602058675903))-π/2
    2×atan(0.41744517583634)-π/2
    2×0.395454281400064-π/2
    0.790908562800128-1.57079632675     		φ = -0.77988776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63506805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.386719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77988776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.684277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4924 KachelY 5235 0.63506805 -0.77988776 36.386719 -44.684277
    Oben rechts KachelX + 1 4925 KachelY 5235 0.63583504 -0.77988776 36.430664 -44.684277
    Unten links KachelX 4924 KachelY + 1 5236 0.63506805 -0.78043294 36.386719 -44.715514
    Unten rechts KachelX + 1 4925 KachelY + 1 5236 0.63583504 -0.78043294 36.430664 -44.715514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77988776--0.78043294) × R
    0.000545179999999923 × 6371000     		dl = 3473.34177999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77988776--0.78043294) × R
    0.000545179999999923 × 6371000     		dr = 3473.34177999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63506805-0.63583504) × cos(-0.77988776) × R
    0.000766990000000023 × 0.710992469616143 × 6371000     		do = 3474.25993201992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63506805-0.63583504) × cos(-0.78043294) × R
    0.000766990000000023 × 0.710608993604276 × 6371000     		du = 3472.38607906105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77988776)-sin(-0.78043294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710992469616143-0.710608993604276)×R²
    abs(0.63583504-0.63506805)×0.000383476011867501×R²
    0.000766990000000023×0.000383476011867501×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383476011867501×40589641000000     		ar = 12064038.2093844m²