Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49238 / 58834
↖ ↑ ↗
← N 18.098866°
W 44.763794°		 ← 290.31 m → N 18.098866°
W 44.761047°		 →
↑
290.33 m
↓
↑
290.33 m
↓
N 18.096255°
W 44.763794°		 ← 290.32 m →
84 286 m²		 N 18.096255°
W 44.761047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375659942626953 y=0.448871612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375659942626953 × 217)
    floor (0.375659942626953 × 131072)
    floor (49238.5)     		tx = 49238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448871612548828 × 217)
    floor (0.448871612548828 × 131072)
    floor (58834.5)     		ty = 58834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49238 / 58834 ti = "17/49238/58834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49238/58834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49238 ÷ 217
    49238 ÷ 131072     		x = 0.375656127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58834 ÷ 217
    58834 ÷ 131072     		y = 0.448867797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375656127929688 × 2 - 1) × π
    -0.248687744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78127559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448867797851562 × 2 - 1) × π
    0.102264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.321273101253616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78127559} λ = -0.78127559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321273101253616))-π/2
    2×atan(1.37888210390813)-π/2
    2×0.94334056224606-π/2
    1.88668112449212-1.57079632675     		φ = 0.31588480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78127559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.763794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31588480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.098866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49238 KachelY 58834 -0.78127559 0.31588480 -44.763794 18.098866
    Oben rechts KachelX + 1 49239 KachelY 58834 -0.78122765 0.31588480 -44.761047 18.098866
    Unten links KachelX 49238 KachelY + 1 58835 -0.78127559 0.31583923 -44.763794 18.096255
    Unten rechts KachelX + 1 49239 KachelY + 1 58835 -0.78122765 0.31583923 -44.761047 18.096255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31588480-0.31583923) × R
    4.55699999999948e-05 × 6371000     		dl = 290.326469999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31588480-0.31583923) × R
    4.55699999999948e-05 × 6371000     		dr = 290.326469999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78127559--0.78122765) × cos(0.31588480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950521881160628 × 6371000     		do = 290.313848939486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78127559--0.78122765) × cos(0.31583923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950536036841176 × 6371000     		du = 290.318172448693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31588480)-sin(0.31583923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950521881160628-0.950536036841176)×R²
    abs(-0.78122765--0.78127559)×1.41556805483001e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41556805483001e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41556805483001e-05×40589641000000     		ar = 84286.4225839316m²