Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49237 / 114661
↖ ↑ ↗
← S 79.157394°
W 44.766541°		 ← 57.45 m → S 79.157394°
W 44.763794°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
S 79.157910°
W 44.766541°		 ← 57.45 m →
3 298 m²		 S 79.157910°
W 44.763794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375652313232422 y=0.874797821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375652313232422 × 217)
    floor (0.375652313232422 × 131072)
    floor (49237.5)     		tx = 49237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874797821044922 × 217)
    floor (0.874797821044922 × 131072)
    floor (114661.5)     		ty = 114661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49237 / 114661 ti = "17/49237/114661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49237/114661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49237 ÷ 217
    49237 ÷ 131072     		x = 0.375648498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114661 ÷ 217
    114661 ÷ 131072     		y = 0.874794006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375648498535156 × 2 - 1) × π
    -0.248703002929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.78132353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874794006347656 × 2 - 1) × π
    -0.749588012695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.35490019383526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78132353} λ = -0.78132353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35490019383526))-π/2
    2×atan(0.0949029779642148)-π/2
    2×0.094619590866693-π/2
    0.189239181733386-1.57079632675     		φ = -1.38155715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78132353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.766541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38155715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.157394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49237 KachelY 114661 -0.78132353 -1.38155715 -44.766541 -79.157394
    Oben rechts KachelX + 1 49238 KachelY 114661 -0.78127559 -1.38155715 -44.763794 -79.157394
    Unten links KachelX 49237 KachelY + 1 114662 -0.78132353 -1.38156616 -44.766541 -79.157910
    Unten rechts KachelX + 1 49238 KachelY + 1 114662 -0.78127559 -1.38156616 -44.763794 -79.157910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38155715--1.38156616) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dl = 57.4027100005543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38155715--1.38156616) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dr = 57.4027100005543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78132353--0.78127559) × cos(-1.38155715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188111708778326 × 6371000     		do = 57.4541578562471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78132353--0.78127559) × cos(-1.38156616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188102859620462 × 6371000     		du = 57.4514550956582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38155715)-sin(-1.38156616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188111708778326-0.188102859620462)×R²
    abs(-0.78127559--0.78132353)×8.84915786386609e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.84915786386609e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.84915786386609e-06×40589641000000     		ar = 3297.94678874535m²