Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49236 / 58791
↖ ↑ ↗
← N 18.211089°
W 44.769287°		 ← 290.07 m → N 18.211089°
W 44.766541°		 →
↑
290.14 m
↓
↑
290.14 m
↓
N 18.208480°
W 44.769287°		 ← 290.07 m →
84 159 m²		 N 18.208480°
W 44.766541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375644683837891 y=0.448543548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375644683837891 × 217)
    floor (0.375644683837891 × 131072)
    floor (49236.5)     		tx = 49236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448543548583984 × 217)
    floor (0.448543548583984 × 131072)
    floor (58791.5)     		ty = 58791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49236 / 58791 ti = "17/49236/58791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49236/58791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49236 ÷ 217
    49236 ÷ 131072     		x = 0.375640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58791 ÷ 217
    58791 ÷ 131072     		y = 0.448539733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.24871826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78137146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448539733886719 × 2 - 1) × π
    0.102920532226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.323334387937279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78137146} λ = -0.78137146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.323334387937279))-π/2
    2×atan(1.38172730660906)-π/2
    2×0.944319897074246-π/2
    1.88863979414849-1.57079632675     		φ = 0.31784347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78137146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.769287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31784347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.211089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49236 KachelY 58791 -0.78137146 0.31784347 -44.769287 18.211089
    Oben rechts KachelX + 1 49237 KachelY 58791 -0.78132353 0.31784347 -44.766541 18.211089
    Unten links KachelX 49236 KachelY + 1 58792 -0.78137146 0.31779793 -44.769287 18.208480
    Unten rechts KachelX + 1 49237 KachelY + 1 58792 -0.78132353 0.31779793 -44.766541 18.208480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31784347-0.31779793) × R
    4.55400000000106e-05 × 6371000     		dl = 290.135340000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31784347-0.31779793) × R
    4.55400000000106e-05 × 6371000     		dr = 290.135340000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78137146--0.78132353) × cos(0.31784347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949911582515064 × 6371000     		do = 290.06692915749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78137146--0.78132353) × cos(0.31779793) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949925813635115 × 6371000     		du = 290.071274801198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31784347)-sin(0.31779793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949911582515064-0.949925813635115)×R²
    abs(-0.78132353--0.78137146)×1.42311200509448e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42311200509448e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42311200509448e-05×40589641000000     		ar = 84159.297540905m²