Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49236 / 114659
↖ ↑ ↗
← S 79.156360°
W 44.769287°		 ← 57.45 m → S 79.156360°
W 44.766541°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
S 79.156877°
W 44.769287°		 ← 57.44 m →
3 301 m²		 S 79.156877°
W 44.766541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375644683837891 y=0.874782562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375644683837891 × 217)
    floor (0.375644683837891 × 131072)
    floor (49236.5)     		tx = 49236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874782562255859 × 217)
    floor (0.874782562255859 × 131072)
    floor (114659.5)     		ty = 114659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49236 / 114659 ti = "17/49236/114659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49236/114659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49236 ÷ 217
    49236 ÷ 131072     		x = 0.375640869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114659 ÷ 217
    114659 ÷ 131072     		y = 0.874778747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.24871826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78137146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874778747558594 × 2 - 1) × π
    -0.749557495117188 × 3.1415926535     		Φ = -2.35480432003602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78137146} λ = -0.78137146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35480432003602))-π/2
    2×atan(0.0949120771094493)-π/2
    2×0.094628608783593-π/2
    0.189257217567186-1.57079632675     		φ = -1.38153911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78137146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.769287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38153911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.156360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49236 KachelY 114659 -0.78137146 -1.38153911 -44.769287 -79.156360
    Oben rechts KachelX + 1 49237 KachelY 114659 -0.78132353 -1.38153911 -44.766541 -79.156360
    Unten links KachelX 49236 KachelY + 1 114660 -0.78137146 -1.38154813 -44.769287 -79.156877
    Unten rechts KachelX + 1 49237 KachelY + 1 114660 -0.78132353 -1.38154813 -44.766541 -79.156877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38153911--1.38154813) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dl = 57.4664200001671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38153911--1.38154813) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dr = 57.4664200001671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78137146--0.78132353) × cos(-1.38153911) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188129426691125 × 6371000     		do = 57.4475836371733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78137146--0.78132353) × cos(-1.38154813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188120567742378 × 6371000     		du = 57.4448784506003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38153911)-sin(-1.38154813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188129426691125-0.188120567742378)×R²
    abs(-0.78132353--0.78137146)×8.85894874672055e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.85894874672055e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.85894874672055e-06×40589641000000     		ar = 3301.22924053007m²