Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49232 / 58800
↖ ↑ ↗
← N 18.187607°
W 44.780273°		 ← 290.17 m → N 18.187607°
W 44.777527°		 →
↑
290.14 m
↓
↑
290.14 m
↓
N 18.184997°
W 44.780273°		 ← 290.17 m →
84 188 m²		 N 18.184997°
W 44.777527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375614166259766 y=0.448612213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375614166259766 × 217)
    floor (0.375614166259766 × 131072)
    floor (49232.5)     		tx = 49232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448612213134766 × 217)
    floor (0.448612213134766 × 131072)
    floor (58800.5)     		ty = 58800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49232 / 58800 ti = "17/49232/58800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49232/58800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49232 ÷ 217
    49232 ÷ 131072     		x = 0.3756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58800 ÷ 217
    58800 ÷ 131072     		y = 0.4486083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78156321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4486083984375 × 2 - 1) × π
    0.102783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.322902955840698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78156321} λ = -0.78156321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322902955840698))-π/2
    2×atan(1.38113131367475)-π/2
    2×0.944114972092227-π/2
    1.88822994418445-1.57079632675     		φ = 0.31743362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78156321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31743362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.187607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49232 KachelY 58800 -0.78156321 0.31743362 -44.780273 18.187607
    Oben rechts KachelX + 1 49233 KachelY 58800 -0.78151527 0.31743362 -44.777527 18.187607
    Unten links KachelX 49232 KachelY + 1 58801 -0.78156321 0.31738808 -44.780273 18.184997
    Unten rechts KachelX + 1 49233 KachelY + 1 58801 -0.78151527 0.31738808 -44.777527 18.184997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31743362-0.31738808) × R
    4.55400000000106e-05 × 6371000     		dl = 290.135340000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31743362-0.31738808) × R
    4.55400000000106e-05 × 6371000     		dr = 290.135340000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78156321--0.78151527) × cos(0.31743362) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.950039588550197 × 6371000     		do = 290.166544362049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78156321--0.78151527) × cos(0.31738808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95005380193923 × 6371000     		du = 290.170885496913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31743362)-sin(0.31738808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950039588550197-0.95005380193923)×R²
    abs(-0.78151527--0.78156321)×1.42133890332907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42133890332907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42133890332907e-05×40589641000000     		ar = 84188.1987779923m²