Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4923 / 5237
↖ ↑ ↗
← S 44.746733°
E 36.342774°		 ← 3 470.51 m → S 44.746733°
E 36.386719°		 →
↑
3 469.58 m
↓
↑
3 469.58 m
↓
S 44.777936°
E 36.342774°		 ← 3 468.64 m →
12 037 979 m²		 S 44.777936°
E 36.386719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60101318359375 y=0.63934326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60101318359375 × 213)
    floor (0.60101318359375 × 8192)
    floor (4923.5)     		tx = 4923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63934326171875 × 213)
    floor (0.63934326171875 × 8192)
    floor (5237.5)     		ty = 5237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4923 / 5237 ti = "13/4923/5237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4923/5237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4923 ÷ 213
    4923 ÷ 8192     		x = 0.6009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5237 ÷ 213
    5237 ÷ 8192     		y = 0.6392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6009521484375 × 2 - 1) × π
    0.201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63430106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6392822265625 × 2 - 1) × π
    -0.278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.875136039463745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63430106} λ = 0.63430106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.875136039463745))-π/2
    2×atan(0.416805313850098)-π/2
    2×0.394909251129382-π/2
    0.789818502258764-1.57079632675     		φ = -0.78097782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63430106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.342774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78097782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.746733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4923 KachelY 5237 0.63430106 -0.78097782 36.342774 -44.746733
    Oben rechts KachelX + 1 4924 KachelY 5237 0.63506805 -0.78097782 36.386719 -44.746733
    Unten links KachelX 4923 KachelY + 1 5238 0.63430106 -0.78152241 36.342774 -44.777936
    Unten rechts KachelX + 1 4924 KachelY + 1 5238 0.63506805 -0.78152241 36.386719 -44.777936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78097782--0.78152241) × R
    0.000544589999999956 × 6371000     		dl = 3469.58288999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78097782--0.78152241) × R
    0.000544589999999956 × 6371000     		dr = 3469.58288999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63430106-0.63506805) × cos(-0.78097782) × R
    0.000766990000000023 × 0.710225517576633 × 6371000     		do = 3470.5122260251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63430106-0.63506805) × cos(-0.78152241) × R
    0.000766990000000023 × 0.709842034951841 × 6371000     		du = 3468.63834075222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78097782)-sin(-0.78152241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710225517576633-0.709842034951841)×R²
    abs(0.63506805-0.63430106)×0.000383482624792042×R²
    0.000766990000000023×0.000383482624792042×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383482624792042×40589641000000     		ar = 12037979.3363286m²