Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4923 / 3765
↖ ↑ ↗
← N 14.392118°
E 36.342774°		 ← 4 733.14 m → N 14.392118°
E 36.386719°		 →
↑
4 733.59 m
↓
↑
4 733.59 m
↓
N 14.349548°
E 36.342774°		 ← 4 734.04 m →
22 406 885 m²		 N 14.349548°
E 36.386719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.60101318359375 y=0.45965576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.60101318359375 × 213)
    floor (0.60101318359375 × 8192)
    floor (4923.5)     		tx = 4923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45965576171875 × 213)
    floor (0.45965576171875 × 8192)
    floor (3765.5)     		ty = 3765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4923 / 3765 ti = "13/4923/3765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4923/3765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4923 ÷ 213
    4923 ÷ 8192     		x = 0.6009521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3765 ÷ 213
    3765 ÷ 8192     		y = 0.4595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6009521484375 × 2 - 1) × π
    0.201904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63430106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4595947265625 × 2 - 1) × π
    0.080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.253873820387817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63430106} λ = 0.63430106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253873820387817))-π/2
    2×atan(1.28900914733172)-π/2
    2×0.910993086841791-π/2
    1.82198617368358-1.57079632675     		φ = 0.25118985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63430106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.342774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25118985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.392118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4923 KachelY 3765 0.63430106 0.25118985 36.342774 14.392118
    Oben rechts KachelX + 1 4924 KachelY 3765 0.63506805 0.25118985 36.386719 14.392118
    Unten links KachelX 4923 KachelY + 1 3766 0.63430106 0.25044686 36.342774 14.349548
    Unten rechts KachelX + 1 4924 KachelY + 1 3766 0.63506805 0.25044686 36.386719 14.349548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25118985-0.25044686) × R
    0.000742989999999999 × 6371000     		dl = 4733.58928999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25118985-0.25044686) × R
    0.000742989999999999 × 6371000     		dr = 4733.58928999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63430106-0.63506805) × cos(0.25118985) × R
    0.000766990000000023 × 0.968617362313766 × 6371000     		do = 4733.14224152386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63430106-0.63506805) × cos(0.25044686) × R
    0.000766990000000023 × 0.968801770043007 × 6371000     		du = 4734.04334865542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25118985)-sin(0.25044686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968617362313766-0.968801770043007)×R²
    abs(0.63506805-0.63430106)×0.000184407729241221×R²
    0.000766990000000023×0.000184407729241221×6371000²
    0.000766990000000023×0.000184407729241221×40589641000000     		ar = 22406885.1888379m²