Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49229 / 81083
↖ ↑ ↗
← S 39.221615°
W 44.788513°		 ← 236.57 m → S 39.221615°
W 44.785767°		 →
↑
236.62 m
↓
↑
236.62 m
↓
S 39.223743°
W 44.788513°		 ← 236.56 m →
55 975 m²		 S 39.223743°
W 44.785767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375591278076172 y=0.618618011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375591278076172 × 217)
    floor (0.375591278076172 × 131072)
    floor (49229.5)     		tx = 49229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618618011474609 × 217)
    floor (0.618618011474609 × 131072)
    floor (81083.5)     		ty = 81083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49229 / 81083 ti = "17/49229/81083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49229/81083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49229 ÷ 217
    49229 ÷ 131072     		x = 0.375587463378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81083 ÷ 217
    81083 ÷ 131072     		y = 0.618614196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375587463378906 × 2 - 1) × π
    -0.248825073242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.78170702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618614196777344 × 2 - 1) × π
    -0.237228393554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.745274978393013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78170702} λ = -0.78170702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745274978393013))-π/2
    2×atan(0.474603776211432)-π/2
    2×0.443125003729878-π/2
    0.886250007459756-1.57079632675     		φ = -0.68454632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78170702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.788513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68454632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.221615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49229 KachelY 81083 -0.78170702 -0.68454632 -44.788513 -39.221615
    Oben rechts KachelX + 1 49230 KachelY 81083 -0.78165909 -0.68454632 -44.785767 -39.221615
    Unten links KachelX 49229 KachelY + 1 81084 -0.78170702 -0.68458346 -44.788513 -39.223743
    Unten rechts KachelX + 1 49230 KachelY + 1 81084 -0.78165909 -0.68458346 -44.785767 -39.223743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68454632--0.68458346) × R
    3.71399999999911e-05 × 6371000     		dl = 236.618939999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68454632--0.68458346) × R
    3.71399999999911e-05 × 6371000     		dr = 236.618939999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78170702--0.78165909) × cos(-0.68454632) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774705998476348 × 6371000     		do = 236.565796348059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78170702--0.78165909) × cos(-0.68458346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.774682513517526 × 6371000     		du = 236.558624933359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68454632)-sin(-0.68458346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774705998476348-0.774682513517526)×R²
    abs(-0.78165909--0.78170702)×2.34849588219843e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34849588219843e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34849588219843e-05×40589641000000     		ar = 55975.0995322452m²