Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49226 / 114670
↖ ↑ ↗
← S 79.162043°
W 44.796753°		 ← 57.42 m → S 79.162043°
W 44.794007°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
S 79.162559°
W 44.796753°		 ← 57.42 m →
3 296 m²		 S 79.162559°
W 44.794007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375568389892578 y=0.874866485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375568389892578 × 217)
    floor (0.375568389892578 × 131072)
    floor (49226.5)     		tx = 49226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874866485595703 × 217)
    floor (0.874866485595703 × 131072)
    floor (114670.5)     		ty = 114670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49226 / 114670 ti = "17/49226/114670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49226/114670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49226 ÷ 217
    49226 ÷ 131072     		x = 0.375564575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114670 ÷ 217
    114670 ÷ 131072     		y = 0.874862670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375564575195312 × 2 - 1) × π
    -0.248870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.78185083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874862670898438 × 2 - 1) × π
    -0.749725341796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.35533162593184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78185083} λ = -0.78185083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35533162593184))-π/2
    2×atan(0.094862042604509)-π/2
    2×0.0945790207472322-π/2
    0.189158041494464-1.57079632675     		φ = -1.38163829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78185083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.796753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38163829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.162043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49226 KachelY 114670 -0.78185083 -1.38163829 -44.796753 -79.162043
    Oben rechts KachelX + 1 49227 KachelY 114670 -0.78180290 -1.38163829 -44.794007 -79.162043
    Unten links KachelX 49226 KachelY + 1 114671 -0.78185083 -1.38164730 -44.796753 -79.162559
    Unten rechts KachelX + 1 49227 KachelY + 1 114671 -0.78180290 -1.38164730 -44.794007 -79.162559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38163829--1.38164730) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dl = 57.4027100005543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38163829--1.38164730) × R
    9.010000000087e-06 × 6371000     		dr = 57.4027100005543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78185083--0.78180290) × cos(-1.38163829) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18803201669974 × 6371000     		do = 57.4178383244618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78185083--0.78180290) × cos(-1.38164730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188023167404386 × 6371000     		du = 57.4151360856682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38163829)-sin(-1.38164730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18803201669974-0.188023167404386)×R²
    abs(-0.78180290--0.78185083)×8.84929535457935e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.84929535457935e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.84929535457935e-06×40589641000000     		ar = 3295.86196427508m²