Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49225 / 81079
↖ ↑ ↗
← S 39.213103°
W 44.799500°		 ← 236.64 m → S 39.213103°
W 44.796753°		 →
↑
236.62 m
↓
↑
236.62 m
↓
S 39.215231°
W 44.799500°		 ← 236.64 m →
55 994 m²		 S 39.215231°
W 44.796753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375560760498047 y=0.618587493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375560760498047 × 217)
    floor (0.375560760498047 × 131072)
    floor (49225.5)     		tx = 49225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618587493896484 × 217)
    floor (0.618587493896484 × 131072)
    floor (81079.5)     		ty = 81079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49225 / 81079 ti = "17/49225/81079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49225/81079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49225 ÷ 217
    49225 ÷ 131072     		x = 0.375556945800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81079 ÷ 217
    81079 ÷ 131072     		y = 0.618583679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375556945800781 × 2 - 1) × π
    -0.248886108398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.78189877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618583679199219 × 2 - 1) × π
    -0.237167358398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.745083230794533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78189877} λ = -0.78189877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745083230794533))-π/2
    2×atan(0.47469478907122)-π/2
    2×0.443199282239914-π/2
    0.886398564479828-1.57079632675     		φ = -0.68439776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78189877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.799500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68439776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.213103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49225 KachelY 81079 -0.78189877 -0.68439776 -44.799500 -39.213103
    Oben rechts KachelX + 1 49226 KachelY 81079 -0.78185083 -0.68439776 -44.796753 -39.213103
    Unten links KachelX 49225 KachelY + 1 81080 -0.78189877 -0.68443490 -44.799500 -39.215231
    Unten rechts KachelX + 1 49226 KachelY + 1 81080 -0.78185083 -0.68443490 -44.796753 -39.215231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68439776--0.68443490) × R
    3.71399999999911e-05 × 6371000     		dl = 236.618939999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68439776--0.68443490) × R
    3.71399999999911e-05 × 6371000     		dr = 236.618939999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78189877--0.78185083) × cos(-0.68439776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774799927625176 × 6371000     		do = 236.643841246711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78189877--0.78185083) × cos(-0.68443490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.774776446941003 × 6371000     		du = 236.636669641371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68439776)-sin(-0.68443490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774799927625176-0.774776446941003)×R²
    abs(-0.78185083--0.78189877)×2.34806841730162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34806841730162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34806841730162e-05×40589641000000     		ar = 55993.5664110807m²