Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49224 / 58808
↖ ↑ ↗
← N 18.166730°
W 44.802246°		 ← 290.20 m → N 18.166730°
W 44.799500°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
N 18.164121°
W 44.802246°		 ← 290.21 m →
84 217 m²		 N 18.164121°
W 44.799500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375553131103516 y=0.448673248291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375553131103516 × 217)
    floor (0.375553131103516 × 131072)
    floor (49224.5)     		tx = 49224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448673248291016 × 217)
    floor (0.448673248291016 × 131072)
    floor (58808.5)     		ty = 58808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49224 / 58808 ti = "17/49224/58808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49224/58808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49224 ÷ 217
    49224 ÷ 131072     		x = 0.37554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58808 ÷ 217
    58808 ÷ 131072     		y = 0.44866943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78194671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44866943359375 × 2 - 1) × π
    0.1026611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.322519460643738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78194671} λ = -0.78194671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.322519460643738))-π/2
    2×atan(1.3806017579971)-π/2
    2×0.943932793383345-π/2
    1.88786558676669-1.57079632675     		φ = 0.31706926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78194671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31706926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.166730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49224 KachelY 58808 -0.78194671 0.31706926 -44.802246 18.166730
    Oben rechts KachelX + 1 49225 KachelY 58808 -0.78189877 0.31706926 -44.799500 18.166730
    Unten links KachelX 49224 KachelY + 1 58809 -0.78194671 0.31702371 -44.802246 18.164121
    Unten rechts KachelX + 1 49225 KachelY + 1 58809 -0.78189877 0.31702371 -44.799500 18.164121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31706926-0.31702371) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31706926-0.31702371) × R
    4.55500000000053e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78194671--0.78189877) × cos(0.31706926) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.950153252963502 × 6371000     		do = 290.201260400267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78194671--0.78189877) × cos(0.31702371) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.950167453704911 × 6371000     		du = 290.20559767222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31706926)-sin(0.31702371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950153252963502-0.950167453704911)×R²
    abs(-0.78189877--0.78194671)×1.42007414083434e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.42007414083434e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.42007414083434e-05×40589641000000     		ar = 84216.7594276051m²