Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49224 / 114664
↖ ↑ ↗
← S 79.158944°
W 44.802246°		 ← 57.45 m → S 79.158944°
W 44.799500°		 →
↑
57.40 m
↓
↑
57.40 m
↓
S 79.159460°
W 44.802246°		 ← 57.44 m →
3 297 m²		 S 79.159460°
W 44.799500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375553131103516 y=0.874820709228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375553131103516 × 217)
    floor (0.375553131103516 × 131072)
    floor (49224.5)     		tx = 49224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874820709228516 × 217)
    floor (0.874820709228516 × 131072)
    floor (114664.5)     		ty = 114664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49224 / 114664 ti = "17/49224/114664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49224/114664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49224 ÷ 217
    49224 ÷ 131072     		x = 0.37554931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114664 ÷ 217
    114664 ÷ 131072     		y = 0.87481689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.2489013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.78194671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87481689453125 × 2 - 1) × π
    -0.7496337890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35504400453412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78194671} λ = -0.78194671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35504400453412))-π/2
    2×atan(0.0948893308819517)-π/2
    2×0.0946060655833949-π/2
    0.18921213116679-1.57079632675     		φ = -1.38158420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78194671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38158420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.158944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49224 KachelY 114664 -0.78194671 -1.38158420 -44.802246 -79.158944
    Oben rechts KachelX + 1 49225 KachelY 114664 -0.78189877 -1.38158420 -44.799500 -79.158944
    Unten links KachelX 49224 KachelY + 1 114665 -0.78194671 -1.38159321 -44.802246 -79.159460
    Unten rechts KachelX + 1 49225 KachelY + 1 114665 -0.78189877 -1.38159321 -44.799500 -79.159460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38158420--1.38159321) × R
    9.00999999986496e-06 × 6371000     		dl = 57.4027099991397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38158420--1.38159321) × R
    9.00999999986496e-06 × 6371000     		dr = 57.4027099991397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78194671--0.78189877) × cos(-1.38158420) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18808514161587 × 6371000     		do = 57.4460435611274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78194671--0.78189877) × cos(-1.38159321) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.188076292412164 × 6371000     		du = 57.4433407865371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38158420)-sin(-1.38159321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18808514161587-0.188076292412164)×R²
    abs(-0.78189877--0.78194671)×8.84920370600173e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.84920370600173e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.84920370600173e-06×40589641000000     		ar = 3297.48100567352m²