Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49223 / 114669
↖ ↑ ↗
← S 79.161526°
W 44.804992°		 ← 57.42 m → S 79.161526°
W 44.802246°		 →
↑
57.47 m
↓
↑
57.47 m
↓
S 79.162043°
W 44.804992°		 ← 57.42 m →
3 300 m²		 S 79.162043°
W 44.802246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375545501708984 y=0.874858856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375545501708984 × 217)
    floor (0.375545501708984 × 131072)
    floor (49223.5)     		tx = 49223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.874858856201172 × 217)
    floor (0.874858856201172 × 131072)
    floor (114669.5)     		ty = 114669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49223 / 114669 ti = "17/49223/114669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49223/114669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49223 ÷ 217
    49223 ÷ 131072     		x = 0.375541687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114669 ÷ 217
    114669 ÷ 131072     		y = 0.874855041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375541687011719 × 2 - 1) × π
    -0.248916625976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.78199464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.874855041503906 × 2 - 1) × π
    -0.749710083007812 × 3.1415926535     		Φ = -2.35528368903222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78199464} λ = -0.78199464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35528368903222))-π/2
    2×atan(0.0948665901057188)-π/2
    2×0.0945835276893944-π/2
    0.189167055378789-1.57079632675     		φ = -1.38162927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78199464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.804992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38162927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.161526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49223 KachelY 114669 -0.78199464 -1.38162927 -44.804992 -79.161526
    Oben rechts KachelX + 1 49224 KachelY 114669 -0.78194671 -1.38162927 -44.802246 -79.161526
    Unten links KachelX 49223 KachelY + 1 114670 -0.78199464 -1.38163829 -44.804992 -79.162043
    Unten rechts KachelX + 1 49224 KachelY + 1 114670 -0.78194671 -1.38163829 -44.802246 -79.162043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38162927--1.38163829) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dl = 57.4664200001671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38162927--1.38163829) × R
    9.02000000002623e-06 × 6371000     		dr = 57.4664200001671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78199464--0.78194671) × cos(-1.38162927) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.188040875801442 × 6371000     		do = 57.4205435576085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78199464--0.78194671) × cos(-1.38163829) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.18803201669974 × 6371000     		du = 57.4178383243288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38162927)-sin(-1.38163829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188040875801442-0.18803201669974)×R²
    abs(-0.78194671--0.78199464)×8.8591017021189e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.8591017021189e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.8591017021189e-06×40589641000000     		ar = 3299.67534276831m²