Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49222 / 81081
↖ ↑ ↗
← S 39.217359°
W 44.807739°		 ← 236.63 m → S 39.217359°
W 44.804992°		 →
↑
236.62 m
↓
↑
236.62 m
↓
S 39.219487°
W 44.807739°		 ← 236.62 m →
55 990 m²		 S 39.219487°
W 44.804992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.375537872314453 y=0.618602752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.375537872314453 × 217)
    floor (0.375537872314453 × 131072)
    floor (49222.5)     		tx = 49222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618602752685547 × 217)
    floor (0.618602752685547 × 131072)
    floor (81081.5)     		ty = 81081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49222 / 81081 ti = "17/49222/81081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49222/81081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49222 ÷ 217
    49222 ÷ 131072     		x = 0.375534057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81081 ÷ 217
    81081 ÷ 131072     		y = 0.618598937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375534057617188 × 2 - 1) × π
    -0.248931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78204258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618598937988281 × 2 - 1) × π
    -0.237197875976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.745179104593773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78204258} λ = -0.78204258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745179104593773))-π/2
    2×atan(0.474649280459889)-π/2
    2×0.443162141859251-π/2
    0.886324283718501-1.57079632675     		φ = -0.68447204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78204258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.807739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68447204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.217359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49222 KachelY 81081 -0.78204258 -0.68447204 -44.807739 -39.217359
    Oben rechts KachelX + 1 49223 KachelY 81081 -0.78199464 -0.68447204 -44.804992 -39.217359
    Unten links KachelX 49222 KachelY + 1 81082 -0.78204258 -0.68450918 -44.807739 -39.219487
    Unten rechts KachelX + 1 49223 KachelY + 1 81082 -0.78199464 -0.68450918 -44.804992 -39.219487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68447204--0.68450918) × R
    3.71400000001021e-05 × 6371000     		dl = 236.61894000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68447204--0.68450918) × R
    3.71400000001021e-05 × 6371000     		dr = 236.61894000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78204258--0.78199464) × cos(-0.68447204) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.774752965188119 × 6371000     		do = 236.629497710168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78204258--0.78199464) × cos(-0.68450918) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.774729482366557 × 6371000     		du = 236.622325452015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68447204)-sin(-0.68450918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774752965188119-0.774729482366557)×R²
    abs(-0.78199464--0.78204258)×2.34828215623928e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.34828215623928e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.34828215623928e-05×40589641000000     		ar = 55990.1723815529m²